Heterocedasticidad en Modelos Lineales y el Teorema de Aitken

Heterocedasticidad: Naturaleza y Conceptos Fundamentales

En el modelo lineal general, definido por la ecuación y = XB + u, se supone que la perturbación aleatoria cumple con las siguientes condiciones:

• A) E(u_t) = 0
• B) E(u_t²) = Var(u_t) = σ²
• C) E(u_iu_j) = Cov(u_i, u_j) = 0

La propiedad B se conoce como homocedasticidad. Cuando este supuesto se incumple, es decir, la varianza no es constante, nos enfrentamos al problema de la heterocedasticidad. Este fenómeno suele aparecer cuando se dispone de datos de sección cruzada, es decir, observaciones que miden una variable en un momento determinado para distintas entidades.

Causas de la Heterocedasticidad

1. Naturaleza del fenómeno: Es común en situaciones en las que se disponen de datos de sección cruzada.
2. Uso de datos agregados: Ocurre cuando las observaciones de la variable dependiente (Y_t) pueden dividirse en grupos y se usan como datos los promedios proporcionados por tales grupos.
3. Omisión de variables relevantes: Si se omite una variable relevante en el modelo, es esperable que la perturbación aleatoria dependa de dicha variable omitida, por lo que su varianza difícilmente será constante.

Consecuencias en el Modelo

La principal consecuencia de la presencia de heterocedasticidad en un modelo lineal es que los estimadores obtenidos, aunque sean lineales e insesgados, no serán óptimos (no serán de mínima varianza).

Procedimientos de Detección

Métodos Gráficos

• Gráfico de los residuos.
• Gráfico de dispersión.

Métodos Analíticos

• Test de Glejser.
• Test de Goldfeld-Quandt.
• Test de White.
• Test de Breusch-Pagan.

Mínimos Cuadrados Ponderados (MCP) y el Teorema de Aitken

En un modelo con perturbaciones no esféricas, el estimador obtenido por Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO) es lineal e insesgado, pero no tenemos asegurado que sea el óptimo de mínima varianza. Para resolver este problema surgen los Mínimos Cuadrados Generalizados (MCG).

Utilizaremos el método de Mínimos Cuadrados Ponderados (MCP), que consiste en transformar un modelo con perturbaciones no esféricas en otro con perturbaciones esféricas. En dicha transformación es fundamental el Teorema de Aitken.

El Teorema de Aitken

El Teorema de Aitken afirma que, al ser Ω una matriz simétrica definida positiva, existe una matriz regular P tal que P'P = Ω^-1, de donde se deriva que: PΩP' = I_n×n (matriz identidad).

Con este procedimiento habríamos conseguido el objetivo pretendido. Partimos del modelo original: Y = XB + U. Si multiplicamos ambos miembros por la matriz P, obtenemos el modelo transformado con propiedades óptimas.