Manual de Funciones Exponenciales y Logarítmicas: Conceptos y Resolución

Función Exponencial: f(x) = a^(x-h) + k

• Asíntota horizontal: y = k
• Dominio: Siempre R (todos los números reales).
• Recorrido:
  • Sin (-) delante: (k, +∞)
  • Con (-) delante: (-∞, k)
• Crecimiento: Creciente si a > 1; decreciente si 0 < a < 1. (Si hay un signo (-) delante, se invierte el comportamiento).
• Corte eje Y: Sustituir x = 0 y calcular.
• Corte eje X: Igualar f(x) = 0; verificar si 0 está en el recorrido, si no, no existe.

Función Logarítmica: f(x) = log_a(x-h) + k

• Asíntota vertical: x = h
• Dominio: Argumento > 0.
  • Sin (-) dentro: x > h → (h, +∞)
  • Con (-) dentro: x < h → (-∞, h)
• Recorrido: Siempre R.
• Crecimiento: Creciente si a > 1; decreciente si 0 < a < 1. (Si hay un signo (-) delante, se invierte el comportamiento).
• Corte eje Y: Sustituir x = 0, solo si está en el dominio.
• Corte eje X: Igualar f(x) = 0 → log_a(x-h) = -k → x-h = a^(-k) → despejar x. ¡Siempre existe!

Propiedades de los Logaritmos

• log_a(a^x) = x
• log_a(1) = 0
• log_a(m · n) = log_a(m) + log_a(n)
• log_a(m / n) = log_a(m) - log_a(n)
• log_a(mⁿ) = n · log_a(m)
• Cambio de base: log_a(b) = log(b) / log(a)

Resolución de Ecuaciones

Ecuaciones Exponenciales

• Método 1 (Misma base): Igualar bases y luego igualar exponentes.
  Ejemplo: 3^(x+2) = 1 → 3^(x+2) = 3⁰ → x+2 = 0 → x = -2
• Método 2 (Con logaritmo): Aplicar logaritmo a ambos lados y usar propiedades de potencia.
  Ejemplo: 5^(2-x) = 2 → (2-x) · log(5) = log(2) → despejar x.
• Truco: (1/a)^(-n) = aⁿ (el exponente negativo invierte la fracción).
  Ejemplo: (1/5)^(-4) = 5⁴ = 625

Ecuaciones Logarítmicas

Regla: log_a(argumento) = n → argumento = aⁿ → despejar x.

• Ejemplo 1: log₂(x+3) = 0 → x+3 = 2⁰ = 1 → x = -2
• Ejemplo 2: log_(1/3)(x-4) = -4 → x-4 = (1/3)^(-4) = 3⁴ = 81 → x = 85

Problemas de Aplicación

• Depreciación/Crecimiento: f(x) = valor_inicial · (tasa)^x
  Si pierde 6% → tasa = 0,94 / Si gana 6% → tasa = 1,06
• Concentración/Decaimiento: f(x) = k · a^x
  Sustituir el valor conocido y despejar la incógnita.
• Temperatura: T(t) = temp_ambiente + diferencia_inicial · e^(kt)
  Sustituir t y T conocidos, despejar k usando logaritmo natural (ln).
• Logaritmo aplicado: Despejar con propiedades.
  log(d) = algo → d = 10^(algo)