Manual Práctico de Derivadas, Límites y Representación de Funciones

Reglas de Derivación

• (uⁿ)' = n · u^n-1 · u'
• (u · v)' = u' · v + u · v'
• (u / v)' = (u' · v - u · v') / v²
• (a^u)' = u' · a^u · ln(a)
• (log_a u)' = u' / (u · ln(a))
• (ln u)' = u' / u
• (e^x)' = e^x
• (ln x)' = 1/x

Propiedades y Operaciones Básicas

• Raíz x = x^1/2
• x^-1 = 1/x
• ln x = 2 → x = e²
• log x = 2 → x = 10²
• e⁰ = 1

Estudio de Funciones a Trozos

Continuidad

En x = 0: f(0) = lim_x→0^- f(x) = lim_x→0⁺ f(x). Si son iguales, es continua en x = 0.

Derivabilidad

En x = 0: f'(0^-) = f'(0⁺). Si son iguales, es derivable en x = 0.

Puntos de Corte

Se evalúan en todas las funciones; si el punto no pertenece al dominio de la rama, no es válido.

• Eje X: f(x) = 0
• Eje Y: y = f(0)

Asíntotas

• Verticales (AV): Se iguala el denominador a 0. Si da ±∞, se calculan los límites laterales. Si da un número, no existe.
• Horizontales (AH): Se calcula el límite cuando x tiende a ±∞. Si el resultado es un número, existe.
• Oblicuas (AO): y = mx + n, donde m = lim_x→∞ (f(x)/x) y n = lim_x→∞ (f(x) - mx).

Monotonía y Curvatura

Monotonía

Se requiere la primera derivada. Se identifican los puntos de no dominio y donde f'(x) = 0. Se construye una tabla de signos para determinar intervalos de crecimiento (f'(x) > 0) y decrecimiento (f'(x) < 0). Los cambios de signo indican máximos o mínimos.

Curvatura

Se requiere la segunda derivada. Se identifican los puntos de no dominio y donde f''(x) = 0.

• f''(x) > 0: Convexo (forma de sonrisa).
• f''(x) < 0: Cóncavo (forma triste).
• Punto de Inflexión: Donde cambia la curvatura.

Recta Tangente

Fórmula: y - f(a) = f'(a)(x - a)

Cálculo de Parámetros (a, b, c...)

• Extremo en (a, b): f(a) = b y f'(a) = 0.
• Punto de Inflexión en (a, b): f(a) = b y f''(a) = 0.

Esquema de Resolución de Problemas

Para representar una función, sigue este orden: Dominio, puntos de corte, asíntotas, monotonía y representación gráfica.