Matemáticas números

Tema 3. Magnitud y medida. 7

“El reto didáctico va a consistir en encontrar situaciones didácticas que permitan la

construcción con significado de los conceptos esenciales de medida, para lo cual habrá que implicar al alumno, al que se debe proporcionar las herramientas necesarias para desenvolverse en su vida como ciudadano”

(Chamorro, 2003).

1. GÉNESIS DE LA IDEA DE MAGNITUD Y MEDIDA EN EL NIÑO.

1.1. ETAPAS QUE DEBE SUPERAR EL NIÑO PARA INICIAR EL TRABAJO CON LA MAGNITUD Y LA MEDIDA.

• Consideración y percepción de una magnitud.

• Conservación de la magnitud.

• Ordenación respecto de la magnitud.

• Correspondencia de números a cantidades de magnitud.

• Consideración y percepción de una magnitud. El niño debe considerar las propiedades de los objetos o de la colección de objetos que le son presentados y con ello diferenciar y distinguir, con su consecuente aislamiento, la propiedad que sea tratada del resto de propiedades o atributos que éstos puedan presentar.

ETAPAS QUE DEBE SUPERAR EL NIÑO PARA INICIAR EL TRABAJO CON LA MAGNITUD

• Conservación de la magnitud. El niño ha de identificar qué cambios son susceptibles de producir modificaciones en el objeto con su consecuente variación en la magnitud tratada así como aquellos que la dejen invariante.

En el momento en que el alumno haya adquirido la idea de que, aunque el objeto cambie de posición, forma, tamaño o alguna otra propiedad, sin embargo hay algo que permanece constante: ese algo es, precisamente, aquella magnitud con respecto a la cual pretendemos que el niño sea conservador.

• Ordenación respecto de la magnitud. Las propiedades que definen las magnitudes permiten ordenar, de modo natural, los objetos que son tratados. Cuando el niño supera las etapas de consideración y percepción de la magnitud así como la conservación de ésta, será capaz de establecer relaciones entre objetos, así como comparaciones del tipo “más que” o “menos que”. La posibilidad de ordenar es intrínseca de la noción de magnitud.

ETAPAS QUE DEBE SUPERAR EL NIÑO PARA INICIAR EL TRABAJO CON LA MAGNITUD

• Correspondencia de números a cantidades de magnitud. El último paso o etapa a destacar corresponde a la capacidad de medir propiamente dicha. El hecho de establecer una comparación entre objetos con su consecuente ordenación invita a estudiar cuánto de intensa es “más que o menos que” dicha relación. Diremos que un objeto pesa el doble que otro, tres veces más, etc.

En lo que respecta a la construcción de la noción de medida, los estudios piagetianos

indican que el niño debe superar los siguientes estadios:

• Comparación perceptiva directa

• Desplazamiento de objetos

• Operatividad de la propiedad transitiva: comparaciones indirectas.

ETAPAS QUE DEBE SUPERAR EL NIÑO PARA INICIAR EL TRABAJO CON LA MEDIDA

• Comparación perceptiva directa. El niño compara de modo perceptivo los objetos que le son presentados y no recurre a ninguna medida común ni a desplazamientos. Sólo si la percepción directa no le da información suficiente, utiliza objetos intermediarios compuestos por ciertas partes de su cuerpo (manos ó pies en caso de la longitud), pero como simple apoyo a la percepción.

• Desplazamiento de objetos. En esta etapa, el niño encuentra la necesidad de comparar los objetos desplazándolos y aproximándolos lo suficiente como para poder extraer

informaciones perceptivas y en caso de no poder realizarse esta aproximación, son usados objetos intermediarios independientes de su propio cuerpo.

• Operatividad de la propiedad transitiva: comparaciones indirectas. Con las comparaciones realizadas en las etapas previas, el niño se siente capaz de realizar

razonamientos del tipo:

“Si a = b y b = c , entonces a = c”

Donde el elemento b sería el intermediario en la comparación. Esta etapa se encuentra

ligada a la conservación de las magnitudes dado que éstas son tratadas a partir de

transformaciones (desplazamientos y deformaciones) evidenciando así la conservación de aquellas.

Operatividad de la propiedad transitiva: comparaciones indirectas.

Es necesario e importante verificar la propiedad transitiva en los alumnos dado que en

muchas ocasiones es la memoria visual la que actúa como soporte de esta propiedad.

Cabe señalar las diferencias que en cuanto a la utilización de la propiedad transitiva nos

podemos encontrar en las diferentes magnitudes, por ejemplo, varias bandas de distintas longitudes. Es posible disponerlas en forma de escalera. (comparación visual/ordenación total sin uso explícito de la propiedad transitiva)  la masa de objetos con la balanza de doble platillo. La visualización del orden total no es posible, siendo observable en este caso, repetidas e innecesarias pesadas en nuestros alumnos, evidenciando la necesidad de adquirir la transitividad en las comparaciones.

1.2. ESTADIOS DE DESARROLLO EVOLUTIVO DE LA NOCIÓN DE UNIDAD.

Es importante hacer notar, que en un inicio, el intermediario utilizado en la comparación de los objetos no se hace corresponder con el patrón o unidad normalizada de medida que suele ser utilizada.

Tan sólo la precisión permitirá convencer al alumno de la necesidad de un patrón o unidad  normalizada. Una vez el niño haya alcanzado la operatividad de la propiedad transitiva que en cuanto a la medida se establecía, se desarrolla la noción de unidad, cuya constitución sigue la siguiente evolución:

Teóricamente, fijar la aplicación medida supone fijar la unidad. Desde un punto de vista didáctico, concienciar a los alumno de la importancia y la necesidad de fijar la unidad es un aspecto clave y de gran importancia, que requiere un tratamiento privilegiado, mediante el diseño de situaciones didácticas que permitan descubrir el papel que juega la unidad en el establecimiento de la medida de magnitudes (Chamorro, 2003).

Podemos distinguir cinco pasos en la constitución de la unidad de una magnitud:

• Ausencia de unidad.

• Unidad objetal.

• Unidad situacional.

• Unidad figural.

• Unidad propiamente dicha.

• Ausencia de unidad. La primera aproximación a la medida es de una marcada percepción sensorial. De este modo, son comparados dos objetos directamente entre sí, pero esta estrategia muestra rápidamente sus carencias cuando se encuentra la presencia de un tercer objeto.

EJEMPLO: si el niño se enfrenta a la comparación de tres recipientes en el caso de la

magnitud capacidad, puede comparar su contenido sin incluso utilizar una unidad de medida.

Podemos distinguir cinco pasos en la constitución de la unidad de una magnitud:

• Unidad objetal. En esta etapa, el niño considera la unidad de medida asociada al propio objeto. Es frecuente encontrar estrategias en que la unidad de medida son las partes constitutivas del propio objeto a medir.

EJEMPLO: para medir la capacidad de un líquido, donde ofrecemos diferentes recipientes más pequeños es común que el niño utilice aquel cuya forma sea más parecida a la del recipiente cuyo contenido se ha de medir.

• Unidad situacional. En esta etapa, la unidad de medida sigue dependiendo del objeto a medir, pero es cambiada para otros objetos en función de la relación existente entre los mismos. Para medir objetos pequeños se utilizan unidades pequeñas y para medir objetos grandes se utilizan unidades mayores que las anteriores.

Podemos distinguir cinco pasos en la constitución de la unidad de una magnitud:

• Unidad figural. La unidad en esta etapa va perdiendo la relación con el objeto a medir, aunque todavía es asociada a figuras concretas.

Estrategias de este tipo son muy observadas en la magnitud capacidad donde, por ejemplo, el niño dispone de una serie de unidades para medir cualquier objeto, que llegan a constituir un verdadero de sistema de unidades de dicha magnitud, manteniendo la tendencia de medir objetos grandes con unidades grandes y objetos pequeños con unidades pequeñas .

• Unidad propiamente dicha. Cuando la unidad logra liberarse de la forma de la figura, del tamaño y del propio objeto a medir, es cuando se consigue la construcción de la noción de unidad de medida, la misma para todas las figuras u objetos.

La unidad de magnitud no es otra cosa que una cantidad de magnitud particular,

pero que no se encuentra asociada a una figura concreta. Los primeros patrones surgen de las partes del cuerpo (medidas antropométricas) y naturalmente, el uso de este tipo de unidades pueden dar buenos resultados cuando es el mismo individuo el que mide, pero la necesidad de la uniformidad de la unidad de medida, es la que permite establecer el convenio del sistema de medida conocido como el Sistema Métrico Decimal.

2. ESTUDIO DE LAS MAGNITUDES LINEALES: LONGITUD, MASA Y CAPACIDAD.

2.1. LA MAGNITUD LONGITUD EN EL NIÑO.

Quizá sea la longitud la magnitud más trabajada en la educación elementalconstituyendo en la mayoría de los casos la medida intermediaria de muchas otras, suponiendo por tanto un obstáculo en la construcción de éstas.

2.1.1. DIMENSIÓN Y DISTANCIA.

Cuando tratamos objetos con un volumen perceptible, lo que se denominan objetos llenos, la magnitud longitud se apoya en su soporte físico. La distancia, por el contrario, se refiere al espacio vacío que se encuentra entre dos objetos, siendo por tanto diferente el tratamiento de estas situaciones.

Las dos nociones se complementan, pero el niño puede encontrar dificultad en aproximar una a la otra.

Para llegar a construir de un modo efectivo la noción de distancia, el niño debe elaborar tres conclusiones básicas (Belmonte, 2005):

• Conservación de la distancia entre dos objetos. Cuando se establece la distancia entre dos objetos, esta se mantiene aunque se interpongan objetos entre ellos.

Simetría en la distancia: la distancia entre A y B coincide con la distancia entre B y A.

• Desigualdad de la distancia: al interponer un objeto C, colocado entre A y B, la distancia entre A y C ó entre B y C es menor que la distancia entre A y B.

ETAPAS QUE DEBE SUPERAR EL NIÑO PARA CONSEGUIR LA CONSERVACIÓN DE LA DISTANCIA

Piaget asegura que hasta los 7 años no se consolidan estas propiedades.

2.1.2. CONSERVACIÓN DE LA LONGITUD.

Son tres los aspectos a tener en cuenta en las dificultades que encuentra el alumno para aislar la longitud: los cambios de posición, los cambios de forma y la descomposición/recomposición.

•Cambios de posición. Los niños pueden no conservar la igualdad de dos longitudes cuando una de ellas sufre un desplazamiento:

Fijación exclusiva en el punto terminal/extremo.

•Cambios de forma. El niño tiende a emitir juicios basados en aspectos no determinantes para la evaluación de las longitudes en cuanto a la posición de los extremos, el número de curvas o el número de segmentos:

Se privilegian los segmentos rectilíneos Se privilegian el número de segmento

2.2. LA MAGNITUD MASA EN EL NIÑO.

La magnitud masa puede considerarse como una de las magnitudes de mayor percepción sensorial y por ello posee un marcado carácter de error.

Desde el punto de vista físico se ha de hacer notar la diferencia que existe entre la masa y el peso dado que son magnitudes distintas. Pero ello no debe hacernos obviar la complementariedad de estas magnitudes dado que el peso de los objetos es lo que nos permite apreciar la masa de estos.

Son dos los principales aspectos a tener en cuenta en las dificultades que encuentra el alumno para aislar la magnitud masa: el volumen y la descomposición/recomposición.

- El volumen. Es común ordenar perceptivamente la masa de los objetos atendiendo a su volumen. Y se ha de llevar cuidado con este aspecto dado que si se utilizan objetos vacíos el alumno puede considerar que como dentro no hay nada, pues no pesa.

- Descomposición/recomposición. Al igual que en el caso de la longitud, el alumno puede emitir juicios erróneos respecto a la conservación de la masa de un objeto tras ser descompuesto y recompuesto. Así, si descomponemos una masa de arcilla en diversos trozos, puede que se entienda que la masa resultante no es la misma.

 2.3. LA MAGNITUD CAPACIDAD EN EL NIÑO.

La magnitud capacidad suele ser considerada como equivalente de la magnitud volumen pero no lo son. Físicamente no presenta diferencias pero sus modelizaciones matemáticas son muy diferentes: la capacidad es una magnitud lineal y el volumen una magnitud trilineal.

En cuanto a los principales aspectos a destacar en la adquisición de esta magnitud se encuentran: la forma y la descomposición/recomposición.

- La forma. Ante dos recipientes de diferente forma, es común evaluar la capacidad por la altura. Con niños de determinadas edades, y aunque el trasvase de líquido se haga en su presencia, la percepción visual de la altura predomina sobre la cantidad de líquido.

- Descomposición/recomposición. Al igual que en el caso de otras magnitudes, el alumno puede emitir juicios erróneos respecto a la conservación de la capacidad de un objeto tras ser descompuesto y recompuesto. Así, si repartimos el contenido de un recipiente entre otros recipientes puede que el niño entienda que la cantidad de líquido resultante ya no es la misma.

3.3. SISTEMAS LEGALES. SISTEMA MÉTRICO DECIMAL.

MAGNITUD UNIDAD SÍMBOLO

LONGITUD metro mMASA kilogramo kgTIEMPO segundo sCAPACIDAD litro l

3. TRATAMIENTO DIDÁCTICO: EL PROBLEMA DE LA MEDIDA.

Se parte de un conjunto de objetos y en ellos vamos a destacar uno de sus atributos medibles, que van a permitir la construcción matemática de una magnitud.

Los sentidos nos van a proporcionar informaciones en cuanto a la apreciación de estas propiedades o atributos y con ello se podrá particionar el conjunto de objetos tratados. Cada una de estas particiones (clases de equivalencia en términos matemáticos) es lo que se denomina cantidad de magnitud.

Cada cantidad de magnitud está formada por todo un conjunto de objetos equivalentes.

Si tomamos dos objetos con cantidades de masa distintas podremos decir que uno es más pesado que otro y establecer su ordenación.

La transposición didáctica de la medida de magnitudes se caracteriza, entre otras cosas, por la existencia de una gran variedad de términos y el uso de un vocabulario flotante que designa de forma indistinta tanto acciones como conceptos de naturaleza matemática y social diferentes.

3.1. DEFICIENCIAS Y DIFICULTADES EN LA ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LAS MAGNITUDES Y SU MEDIDA.

_ Incapacidad de los alumnos para distinguir magnitudes diferentes.

_ Cambios de unidades. Orden de magnitud.

La medición es casi siempre ficticia y con un marcado carácter ostensivo, que tiene por finalidad sustituir la medición real de objetos concretos (medida concreta de los objetos, expresada por un número y una unidad, que sirve de soporte a la mayoría de las actividades que se proponen en clase).

Es por ello que las nociones de aproximación, estimación y ordenación de una magnitud no suelen ser tratadas en el aula.

_ Ignorancia de los métodos usuales de medición.

_ Aritmetización de la medida.

_ Vocabulario.

_ Dialéctica medida exacta / medida aproximada.

_ Papel de los errores.

“Hay por tanto una clara sustitución de saberes en la que los verdaderos problemas de medida se sustituyen por problemas aritméticos, los procesos de medición por el uso de fórmulas, y los ejercicios sobre conversiones, que ocupan más de la mitad del tiempo de trabajo dedicado a la medida, son un mero ejercicio de numeración decimal.” (Chamorro, 2003, p. 229)

3.2. SUGERENCIA DE UNA PROGRESIÓN EN EL TRATAMIENTO DE LA MEDIDA. PROCESOS DE CLASIFICACIÓN

Y SERIACIÓN. MATERIALES PARA LA ENSEÑANZA DE LAS MAGNITUDES Y SU MEDIDA.

El trabajo para la construcción de magnitudes es una progresión compuesta de diferentes actividades de clasificación y ordenación, donde una posible secuencia de enseñanza-aprendizaje podría ser:

Para la progresión de estas actividades será necesario disponer en el aula de objetos suficientes tanto en número como en variedad, para proporcionar contextos ricos a los alumnos que propicien el establecimiento de relaciones y comparaciones, enfrentando con ello al alumno, en la medida de lo posible, a las dificultades que conllevan el aislamiento de la magnitud

- Longitud. Al superponer los extremos de dos bandas, uno de los extremos indica cual de las dos es más larga. Sólo cuando no sea posible la comparación directa (Por ejemplo: ¿cabe un armario por una puerta?) será necesario utilizar medidas intermediarias como el caso de señalar la longitud medida más pequeña y con esta muesca (cuerda utilizada) realizar la comparación en el otro objeto a medir, o bien

utilizar la medida de palmos superpuestos unos a continuación de otros.

Veamos ejemplos en que se evidencia la comparación directa de la medida:

- Capacidad. Cuando se recurre al trasvase de líquido de un recipiente a otro las decisiones basadas en la altura de los recipientes suelen ser fuente de errores.

- Masa. Cuando se realiza el sopeso de objetos en las manos o en la balanza de doble platillo, el platillo que desciende nos informa de la medida más pesada.

- Tiempo. Cuando realizamos comparaciones en esta magnitud es muy difícil obviar el subjetivismo del suceder de los acontecimientos. Se requiere de una alta capacidad de razonamiento y deducción en este aspecto. De algún modo, si hacemos coincidir el inicio de dos sucesos, es fácil comprobar cuál de ellos termina antes.

MATERIALES PARA LA ENSEÑANZA DE LAS MAGNITUDES Y SU MEDIDA

MASA: balanza de doble platillo, arena, etc.

LONGITUD: cuerda o material flexible, banda rígida, cinta métrica, etc.

CAPACIDAD: agua o cualquier otro líquido, arena, recipientes de distinta forma y

tamaño, probetas graduadas, etc.

TIEMPO: reloj de arena, cronómetro, magnetófono con temporizador, etc.

SUPERFICIE: papel transparente, papel cuadriculado, tijeras, tangram, etc.

VOLUMEN: policubos, sólidos para ensamblar, etc.