Matrices 2

→Teorema: Si la matriz A es estrictamente diagonal dominante o puede serlo bajo alguna reordenacion, entonces con cualquier eleccion x(o) ε R, tanto el metodo de Jacobi como el de Gauss-Seidel dan sucesiones que convergen a la unica solucion del sistema Ax=b.

→Teorema: Si la matriz A es simetrica definida positiva, entonces el metodo de Gauss-Seidel converge a la unica solucion del sistema Ax=b.

→Teorema de Stein-Rosenberg: Sea el sistema Ax=b. Si la matriz A cumple que sus elementos ai,j <= 0 para todo i distinto de j, y ai,i > 0 para todo i=1,...n, entonces se satisface una y solo una de las siguientes afirmaciones:

• 0<ρ(Tg)<ρ(Tj)<1

• 1<ρ(Tj)<ρ(Tg)

• ρ(Tj)=ρ(Tg)=1

• ρ(Tj)=ρ(Tg)=0

donde Tg y Tj denotan las matrices de paso T de los metodos de Gauss-Seidel y de Jacobi, respectivamente.

→Teorema: Si la matriz A es simetrica, definida positiva y tridiagonal, entonces se cumple:         ρ(Tg)=(ρ(Tj))²<1

→→→Coste operativo: Para calcular xn se efectuara 1 division, para calcular xk, seran necesarias (n-k) multiplicadores y 1 divison, es decir, (n-k-1) operaciones. Como el proceso se realiza para k= n-1, n-2, .. , 2, 1, el numero total de operaciones sera: n²/2

Sustitucion progresiva : n²/2

Eliminacion gaussiana: n³/3

Doolitle y Crout: n³/3

Cholesky: n³/6