Métodos de Cálculo Diferencial e Integral: Límites, Derivadas y Funciones

Resolución de Límites Matemáticos

Límite 0/0: Se resuelve mediante polinomios (factorización), radicales (racionalización y factorización) o trigonométricos (utilizando el límite notable sen(x)/x = 1).

Límite ∞/∞: Se resuelve dividiendo cada término por la variable con el coeficiente de mayor exponente.

Límite 1^∞:

• lim_x→∞ (1 + 1/x)^x = e
• lim_x→0 (1 + x)^1/x = e

Regla de Barrow y Cálculo de Áreas

1. Igualar las dos funciones dadas.
2. Graficar las funciones para visualizar el área o triángulo a calcular.
3. Igualar cada punto a 0 para hallar los límites de integración.
4. Aplicar la fórmula de la función superior menos la función inferior (techo - piso).
5. Unir los términos semejantes (las x y los números).
6. Antiderivar (integrar) la expresión resultante.
7. Reemplazar los límites de integración en las x (aplicando la propiedad distributiva si es necesario).
8. Resolver la ecuación resultante.

Máximos, Mínimos y Puntos de Inflexión

1. Hallar raíces y realizar la gráfica preliminar.
2. Derivar la función f(x).
3. Hallar las raíces de la derivada igualando f'(x) = 0.
4. Realizar el estudio de signos por izquierda y derecha para determinar el Máximo y el Mínimo.
5. Calcular la derivada segunda e igualarla a 0.
6. Esas raíces representarán los puntos de inflexión (cambios de concavidad).
7. Para determinar la altura de la función, reemplazar el punto obtenido en la función original.

Forma Factoreada de la Función Cuadrática

1. Fórmula: y = a(x - x₁) (x - x₂)
2. Eje de simetría: (x₁ + x₂) / 2

Raíces (R): x₁ y x₂ (se consideran con el signo opuesto al de la fórmula).

Ordenada al origen (O.O.): Se obtiene evaluando en x = 0.

Vértice: Se obtiene reemplazando el valor del eje en la función.

Función Cuadrática (Forma Polinómica)

1. Hallar raíces y marcarlas en el gráfico. Si la raíz es par, la gráfica rebota; si es impar, atraviesa el eje.
2. Eje de simetría: -b / (2 · a)
3. Vértice: Reemplazar el valor del eje en la función original.
4. Ordenada al origen: Corresponde al valor del término independiente c.

Forma Canónica

1. Fórmula: y = a(x - h)² + k
2. Parámetro a: Determina si es un máximo o un mínimo.
3. Vértice (V): (h; k).
4. Eje (E): x = h.

Relación de raíces (R): Depende de a y k. Si a es positivo y k negativo, la imagen es distinta; si k = 0, las raíces coinciden.

Cálculo de Asíntotas

• Asíntota Vertical (AV): Se halla igualando el denominador a 0.
• Asíntota Horizontal (AH):
  • Si el grado del numerador (gn) es igual al grado del denominador (gd), se dividen los coeficientes principales.
  • Si gn > gd, no existe asíntota horizontal.
  • Si gn < gd, la asíntota está en y = 0.

Recta Tangente y Normal (Conociendo X = a)

1. Hallar Y reemplazando X en la función original.
2. Derivar la función; el resultado evaluado en a es la pendiente m.
3. Reemplazar en la fórmula de la recta tangente y resolver la ecuación para hallar b.
4. Establecer la fórmula de la recta tangente.
5. Invertir la pendiente m y cambiar su signo para la recta normal.
6. Reemplazar en la fórmula de la recta normal y resolver para hallar b.
7. Establecer la fórmula de la recta normal.

Recta Tangente y Normal (Sin conocer X = a)

1. Si se tiene la ecuación normal, se sabe que alguna de las rectas es paralela a otra.
2. Derivar la función.
3. Igualar la derivada a la pendiente m de la recta original (esto permite hallar x).
4. Reemplazar el valor de x obtenido en la función original.
5. Hallar el valor de b.

Recta Tangente y Normal (Con ángulo dado)

1. Hallar m: Se calcula como la tangente del ángulo dado (m = tg(α)).
2. Derivar la función.
3. Igualar la pendiente m a la derivada (esto permite hallar x).
4. Reemplazar x en la función original para hallar y.
5. Organizar los datos en la fórmula de la recta tangente y hallar b.
6. Invertir y cambiar signos de m para hallar la b de la recta normal.