Resumen

El documento explica los procedimientos gráficos para trazar circunferencias tangentes en tres casos: punto-punto-recta (PPR), punto-recta-recta (PRR) y recta-recta-circunferencia (RRC), con sus soluciones exterior e interior. Se basa en el método del Centro Radical y describe paso a paso cómo localizar los centros y los puntos de tangencia.

Puntos clave

PPR: se traza una circunferencia tangente a una recta que pase por dos puntos dados, usando la mediatriz del segmento que los une y el Centro Radical.
PRR: la circunferencia tangente a dos rectas y que pase por un punto tiene su centro sobre la bisectriz del ángulo formado por las rectas.
RRC solución exterior: se trazan paralelas a las rectas a distancia igual al radio de la circunferencia dada, hacia afuera, y el centro se localiza sobre la bisectriz.
RRC solución interior: el procedimiento es idéntico al exterior, pero utilizando las paralelas trazadas hacia adentro.
El Centro Radical se obtiene como intersección de una recta con el eje radical o con una paralela, según el caso.
Los centros de las circunferencias solución se hallan subiendo perpendiculares desde los puntos de tangencia hasta la bisectriz o la mediatriz.

Ponte a prueba

Procedimientos de Trazado de Tangencias (PPR, PRR, RRC)

Descripción detallada de los pasos para la construcción de circunferencias tangentes utilizando el método del Centro Radical.

PPR (Punto, Punto, Recta)

Procedimiento para trazar una circunferencia tangente a una recta y que pase por dos puntos dados.

Unimos los dos puntos dados (P1 y P2) y trazamos la mediatriz de este segmento.
Trazamos una circunferencia auxiliar (C. Aux. 1) que contenga a P1 y P2, con su centro por encima de la recta.
Prolongamos la línea que une P1 y P2 hasta que corte a la recta dada, obteniendo así el Centro Radical (CR).
Trazamos la mediatriz entre el centro de la C. Aux. 1 y el CR. El punto medio de este segmento será el centro de una nueva circunferencia auxiliar (C. Aux. 2) que pasa por el centro de la C. Aux. 1 y el CR.
Los puntos donde C. Aux. 2 corta a la recta son los puntos de tangencia (T1 y T2). Subimos estos puntos mediante una perpendicular a la recta. Donde estas perpendiculares corten a la primera mediatriz (Paso 1), ahí se encuentran los centros de las circunferencias solución (O1 y O2).

PRR (Punto, Recta, Recta)

Procedimiento para trazar una circunferencia tangente a dos rectas y que pase por un punto dado.

Trazamos la bisectriz del ángulo formado por las dos rectas dadas (R1 y R2).
Trazamos una circunferencia auxiliar (C. Aux. 1) con centro en la bisectriz y que pase por el punto dado (P).
Trazamos una segunda C. Aux. 2, también con centro en la bisectriz y que pase por P. Determinamos el eje radical (unión de los cortes de C. Aux. 1 y C. Aux. 2) hasta que corte a una de las rectas dadas, obteniendo el Centro Radical (CR).
Unimos el CR con el centro de la C. Aux. 1. Trazamos la mediatriz de este segmento. El punto medio será el centro de una tercera circunferencia auxiliar (C. Aux. 3) que pasa por el CR y el centro de la C. Aux. 1, cortando a esta última en dos puntos.
Trazamos una circunferencia con centro en el CR y radio hasta los puntos de corte obtenidos en el paso anterior. Esta circunferencia cortará a las rectas dadas en los puntos de tangencia (T).
Desde los puntos de tangencia (T) en las rectas, trazamos perpendiculares hasta que corten la bisectriz. Estos puntos de corte serán los centros de las circunferencias solución (O1 y O2).

RRC (Recta, Recta, Circunferencia)

RRC - Solución Exterior

Procedimiento para trazar una circunferencia tangente a dos rectas y a una circunferencia dada (solución exterior).

Trazamos rectas paralelas a las rectas dadas (R1 y R2) a una distancia igual al radio (r) de la circunferencia dada, hacia afuera.
Trazamos la bisectriz del ángulo formado por las rectas paralelas (Locus de los centros O).
Trazamos una circunferencia auxiliar (C. Aux. 1) con centro en la bisectriz que pase por el centro de la circunferencia dada (O_C).
Trazamos una perpendicular a la bisectriz que pase por O_C. Donde esta perpendicular corte a la paralela inferior, se encuentra el Centro Radical (CR).
Unimos el CR y el centro de la C. Aux. 1. Trazamos la mediatriz de este segmento. El punto medio será el centro de una circunferencia (C. Aux. 2) cuyo diámetro es dicho segmento.
Con centro en el CR, trazamos un arco con radio hasta los puntos de corte de C. Aux. 1 y C. Aux. 2. Este arco cortará a las rectas paralelas en los puntos de tangencia (T1 y T2).
Subimos los puntos de tangencia (T1 y T2) perpendicularmente hasta la bisectriz, donde encontraremos los centros de las circunferencias solución (O1 y O2).

RRC - Solución Interior

Procedimiento para trazar una circunferencia tangente a dos rectas y a una circunferencia dada (solución interior).

Trazamos rectas paralelas a las rectas dadas (R1 y R2) a una distancia igual al radio (r) de la circunferencia dada, hacia adentro.
A partir de este punto, el procedimiento es idéntico al de la solución exterior, utilizando las rectas paralelas interiores para determinar el Centro Radical y los puntos de tangencia.

Preguntas frecuentes

¿Qué es el Centro Radical en las tangencias?

Es el punto de corte entre una recta dada y la recta que une los puntos o el eje radical de las circunferencias auxiliares, según el caso. Permite obtener los puntos de tangencia de la circunferencia solución.

¿Dónde se sitúa el centro de una circunferencia tangente a dos rectas en el procedimiento PRR?

Se sitúa sobre la bisectriz del ángulo formado por las dos rectas dadas. Desde los puntos de tangencia se trazan perpendiculares que cortan esa bisectriz.

¿Cuál es la diferencia entre la solución exterior y la interior en RRC?

En la solución exterior las paralelas a las rectas se trazan hacia afuera a distancia igual al radio, mientras que en la interior se trazan hacia adentro. El resto del procedimiento es el mismo.

Tangencias fundamentales PPR, PRR y RRC: procedimientos de trazado