Métodos de Factorización y Propiedades de Funciones Matemáticas

Casos de Factorización

• Factor Común: Se aplica cuando en dos o más términos todos tienen algo en común. Ejemplo: 2x² + 1x = x(2x + 1).
• Factor Común por Grupos: Se utiliza en expresiones de 4, 6, 8, 9 o más términos donde no todos tienen algo en común, pero al agruparlos sí presentan variables o coeficientes compartidos. Ejemplo: AB + AC + DB + DC = A(B + C) + D(B + C) = (B + C) · (A + D).
• Diferencia de Cuadrados: Se presenta en binomios (2 términos) que consisten en una resta de dos términos que son cuadrados perfectos. Ejemplo: x² - 9 = (x + 3)(x - 3).
• Trinomio Cuadrado Perfecto: Consta de 3 términos, donde dos de ellos son cuadrados perfectos y el tercero corresponde al doble producto de sus raíces (2 · a · b). Para resolverlo, se debe sacar la raíz del primer y último término. Ejemplo: x² - 6x + 9 = (x - 3)(x - 3) o (x - 3)².
• Trinomio Cuadrado No Perfecto (Fórmula de Bhaskara): Se aplica en trinomios de grado 2 que no cumplen con las condiciones del caso anterior. Se utiliza la fórmula: -b ± √(b² - 4 · a · c) / 2 · a. Ejemplo: x² + 11x + 30 = (x + 6)(x + 5). En este caso, se coloca x en cada paréntesis, luego se descompone el término independiente y se busca qué dupla de números sumada o restada da como resultado el término central.
• Cuatrinomio Cubo Perfecto: Posee 4 términos, de los cuales dos son cubos perfectos y los otros dos cumplen con las condiciones 3 · a² · b y 3 · a · b². Ejemplo: a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a + b)³.

Funciones Racionales

• Raíz: Se obtiene igualando la función a cero, considerando únicamente el numerador (la parte superior). El número que acompaña a la x pasa al otro lado dividiendo si está multiplicando.
• Asíntota Vertical (AV): Se obtiene igualando a cero el denominador (la parte inferior).
• Asíntota Horizontal (AH): Cada término se divide por la variable de mayor exponente (por ejemplo, x). Si el numerador y el denominador tienen el mismo grado, también se puede calcular dividiendo el coeficiente del numerador por el del denominador. El coeficiente es el número que acompaña a la x.
• Tabla de valores: Luego de obtener los puntos anteriores, se realiza una tabla x/y para determinar el sentido de la asíntota; es recomendable calcular al menos dos números para cada lado.
• Ordenada al Origen: Se obtiene igualando y reemplazando la variable x por cero.
• Dominio e Imagen: Se determinan observando el gráfico. El Dominio son todos los números reales menos el valor de la asíntota en x. La Imagen se define de igual forma, pero observando los valores en el eje y.

Funciones Polinómicas y Gráficos

Procedimientos para Graficar y Factorizar

Para graficar y factorizar una función polinómica (aquellas de grado igual o mayor a 3; si es de grado 2 es lineal o cuadrática), generalmente se debe aplicar la Regla de Ruffini. En este proceso, P representa el término independiente y Q el coeficiente de mayor grado.

Dominio e Imagen en el Infinito

Si la función se extiende en el eje x desde menos infinito a más infinito, decimos que el dominio son todos los números reales. Lo mismo ocurre con la imagen si se extiende verticalmente. Esto se puede representar como el conjunto de los números reales (ℝ) o mediante intervalos desde -∞ hasta +∞.

Orden de Multiplicidad

El orden de multiplicidad indica las veces que un número o raíz corta o toca la función en el gráfico. Se escribe, por ejemplo, como: x = 2 (multiplicidad 1).