Métodos Numéricos para Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

MÉTODO DE EULER

Se tiene una ecuación diferencial de primer orden y' = f(x;y), en donde y' es función tanto de la variable independiente x, como de la variable dependiente y; por lo tanto, no es posible integrar directamente la misma. La solución de la ecuación está dada por y=y(x). Puede escribirse: y'=f(x;y)=f[x;y(x)]=F(x). Se conoce un valor inicial (x₀; y₀), lo que posibilita determinar el valor inicial de y', resulta: y'₀ =f(x₀;y₀). La variación de la función y, desde x=x₀ hasta x=x₀+h, se representa mediante el área bajo la curva y', entre x₀ y x₀+h; lo cual puede verse, integrando la función original para el subintervalo (x₀; x₁):

Donde, los primeros miembros representan los valores exactos y los segundos, los valores aproximados. Despejando y₁, resulta: y₁ ≅ y₀+y^'₀ h. En la cual, se conocen los valores del segundo miembro. Luego, utilizando el punto (x₀+h; y₁), es posible aproximar el valor de y'₁: y'₁ = f(x₁ ;y₁ ). Siguiendo el razonamiento anterior, se tiene: y₂ ≅ y₁+y^' ₁h . Continuando este procedimiento, y considerando estas expresiones como igualdades, se obtiene la FÓRMULA DE INTEGRACIÓN HACIA ADELANTE DE EULER: y_n+1=y₁+y^'_n h. La aproximación a la curva se realiza mediante una poligonal (segmentos de recta).

Error en el Método de Euler

La fórmula de Euler está constituida por los dos primeros términos del desarrollo en serie de Taylor; es decir que, se desprecian los términos que contienen desde h² en adelante. El error por truncamiento que se introduce en cada paso es: E ≤ h². Por tal motivo, h debe mantenerse lo más pequeño posible.

MÉTODO MODIFICADO DE EULER

Mejora la precisión obtenida por el método de Euler. Se tiene la ecuación diferencial de primer orden primer grado y''=f(x;y), en la que se conoce el valor de y=y₀ cuando x=x₀ (solución inicial), con los cuales se calcula y'₀. Reemplazando estos valores en la fórmula de Euler, se obtiene un valor aproximado para y₁, llamado VALOR DE PREDICCIÓN de y₁:

P(y^'₁)=y₀+y^'₀ h . El término y'₀.h es el área rectangular A₁, la que es diferente al área real bajo la curva, de manera que el valor P(y₁) difiere del valor real. Sin embargo, si el valor de predicción de y₁ se sustituye y''=f(x;y), se obtiene un valor aproximado de y'₁ al que se lo llama P(y'₁), dado que se basa en el valor de predicción: P(y^'₁)= f[x₁;P(y₁)]h. Realizando un promedio entre las ordenadas que determinan el área A₁, bajo la curva y', se mejora la aproximación de la misma. Así, se obtiene un valor corregido de y₁: C(y₁)=y₀+1/2[y^'₀₊P(y^'₁)]h . lo que permite clasificar al método como PREDICTOR-CORRECTOR. El valor corregido de y₁ se utiliza para obtener un valor corregido de y'₁; resulta:

C(y '₁)=f[x₁;C(y₁)] . El que se usa para obtener un nuevo valor corregido de y₁: C(y₁)=y₀+1/2[y^'_0+C(y^'₁)]h

Los dos últimos pasos se iteran hasta que, para dos valores consecutivos de y₁, su diferencia en valor absoluto, sea menor que un valor E positivo y arbitrario. Luego se avanza un intervalo para obtener y₂, y así sucesivamente. El error por paso del método está en el orden de E ≤ h³.

MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA

Se denomina así a todo aquel algoritmo que utiliza la fórmula: y_i+1=y_i +a₁ k₁ +...+a_n k_n. En la cual, las a_i son constantes y las k_i toman la forma:

La posibilidad de adoptar arbitrariamente el valor de n, permite establecer el orden del método juntamente con el grado de precisión deseado. Es requisito, que la función ƒ(x; y) se calcule para varios valores de x e y que difieren muy poco, unos de otros, en cada paso; lo que puede hacer poco eficiente al método, en cuanto a tiempo de procesamiento.

Método de Runge-Kutta de Primer Orden

Al ser n=1, la expresión del método resulta y_i+1=y_i +a₁ k₁ , donde k₁=hf(x_i ;y_i )=hy'₁ . De esta manera, cuando a₁=1, la expresión se reduce al método de Euler, resultando:

y_i+1=y_i +hf'₁