Modelos Estadísticos Avanzados: ANOVA, Factorial, Regresión y Correlación Múltiple

El Análisis de Varianza I (ANOVA)

El objetivo principal del ANOVA es observar las condiciones en las que se apoya dicho análisis. Se exponen los fundamentos del análisis de varianza referido a un solo factor (una sola variable independiente manipulada entre grupos).

Objetivo del ANOVA

Su propósito es comprobar hipótesis acerca de las MEDIAS, no de la varianza, mediante un análisis de la variabilidad de las observaciones de las muestras. La prueba T sirve para comparar dos medias y el ANOVA más de dos.

Supuestos del Modelo

• Independencia: Muestras aleatorias y las observaciones son independientes entre sí.
• Normalidad: La variable se distribuye siguiendo la distribución normal.
• Homocedasticidad u homogeneidad de varianzas: Las varianzas de los grupos pueden considerarse similares.

Análisis de Varianza II (ANOVA Factorial)

El ANOVA factorial se utiliza para analizar los efectos de dos o más variables independientes (VI) categóricas (factores) sobre una variable dependiente (VD) de tipo cuantitativo. Estos efectos son de dos tipos:

• Efectos principales: Son efectos aislados de cada VI sobre la VD.
• Efectos de la interacción: Existe interacción si una VI afecta a la VD de forma distinta para cada nivel de la otra VI.

Ventaja: Permite indagar la existencia de una interacción significativa entre ambos factores. La interacción ocurre cuando en un experimento el rendimiento medido es afectado por dos factores.

En un ANOVA de dos factores se contrastan por separado tres hipótesis nulas ($H_0$) independientes:

• La $H_0$ de la falta de efecto del primer factor.
• La $H_0$ de la falta de efecto del segundo factor.
• La $H_0$ de la inexistencia de interacción entre los dos factores.

La construcción de estadísticos de la $H_0$ se hace descomponiendo la variabilidad total de los datos y se obtienen los contrastes F de las tres hipótesis nulas.

Tipos de Factores

• Fijos: Los niveles que presenta el factor son todos los posibles.
• Aleatorios: Los niveles son una muestra aleatoria de todos los posibles.

Clasificación de Diseños ANOVA

ANOVA (VD cuantitativa y una o más VI cualitativas):

• Unifactorial (1 VI):
  • Entre grupos (1 VI, muestras independientes).
  • Intrasujeto (1 VI, muestras relacionadas).
• Bifactorial (2 VI):
  • Entre grupos (2 VI, muestras independientes).
  • Intrasujeto (2 VI, muestras relacionadas).
  • Mixto (1 VI entre y 1 intra).
• Multifactorial (3 o más VI):
  • Entre grupos (3 o más VI, muestras independientes).
  • Intrasujeto (3 o más VI, muestras relacionadas).
  • Mixto (1 o más VI entre y 1 o más intra).

Regresión y Correlación Múltiple

El análisis de regresión lineal múltiple (RLM) permite evaluar la relación entre una VD (criterio) cuantitativa y varias VI (predictoras); es una extensión del análisis bivariado entre una VD y una VI. Examina en qué grado un conjunto de variables pueden predecir una VD y proporciona información sobre:

• El modelo completo y la contribución relativa de cada variable.
• La significación estadística.

Muchas de estas medidas correlacionadas con el criterio pueden estar correlacionadas entre sí, lo que puede ocasionar problemas de predicción e interpretación.

Cuestiones que Permite Abordar

• Hasta qué punto un conjunto de variables permite predecir una variable criterio particular.
• Qué variables son predictorias significativas del criterio.
• Si una variable permite predecir un resultado cuando los efectos de otras son controlados.

Supuestos del Modelo de Regresión

• Linealidad: Entre las variables predictoras y la variable criterio (se examina con diagrama de dispersión y puede usarse el tipo de dispersión matricial).
• Independencia: Las variables predictoras deben ser independientes (con el contraste de Durbin-Watson entre 0 y 4).
  • Valores próximos a 2: ausencia de correlación.
  • Valores próximos al 0: autocorrelación positiva.
  • Valores próximos al 4: autocorrelación negativa.
  • Valores < 1 y > 3: problemáticos.
• Normalidad: El vector de errores sigue una distribución normal. Es necesario para contrastes T y se requiere normalidad multivariable.
• Homocedasticidad (multivariable): Las matrices de varianzas-covarianzas entre variables predictoras deben ser iguales para todos los niveles de la variable criterio.
• Ausencia de multicolinealidad: Elevada correlación entre variables predictoras.
• Adecuada especificación del modelo: Incluir variables relevantes y excluir las irrelevantes.

Consideraciones: La RLM analiza las relaciones lineales entre las variables predictoras y el criterio (se recomienda al menos 10 sujetos por variable predictora).

Estimación y Coeficientes

El criterio para la obtención óptima del conjunto de predictores es el de Mínimos Cuadrados Ordinarios, que consiste en minimizar la suma de los errores al cuadrado.

• Coeficientes de la regresión: Representan cambios que tienen lugar en la variable criterio Y por cambios unitarios en la variable correspondiente X.
• Coeficientes beta: Cada uno de estos coeficientes representa cambios en unidades de desviación típica en Y que se producen por cambios en unidades de desviación típica en X.
• Coeficiente de determinación múltiple: Proporción de la variación de Y explicada por la combinación lineal de las variables predictoras (es la raíz cuadrada del coeficiente de determinación).