Números Reales, Error y Estadística: Conceptos Básicos con Ejemplos

Potencia

La potencia sirve para expresar el producto de un número x por sí mismo una determinada cantidad de veces.

• Si la base de la potencia es positiva, el resultado siempre será positivo.
• Si la base de la potencia es negativa, el resultado puede ser positivo (si el exponente es par) o negativo (si el exponente es impar).

Fracción generatriz

La fracción generatriz es la fracción irreducible que representa un número decimal.

Decimal exacto

Ejemplo: 0,125 = 125/1000 = 1/8 (tantos ceros como decimales tenga el número).

Decimal periódico puro

Ejemplo: 1,3 = (13 − 1)/9 = 12/9 = 4/3 (el número sin la coma y restando la parte entera, dividido entre tantos 9 como cifras tenga el periodo).

Decimal periódico mixto

Ejemplo: 2,16 = (216 − 21)/90 = 195/90 (la parte no periódica seguida del periodo, menos la parte no periódica, dividido entre tantos 9 como cifras tenga el periodo y tantos 0 como cifras tenga la parte no periódica).

Errores en la medición

Error absoluto

El error absoluto consiste en comparar con una referencia el valor que hemos obtenido con uno de referencia que consideramos exacto. Se suele tomar el valor absoluto de esta resta, ya que lo que importa es la diferencia entre nuestra medida y el valor exacto.

E_a = |V_e − V_a|

Error relativo

Para saber si un error es grande o pequeño hay que compararlo con el valor obtenido en el experimento. Se denota E_r y se calcula dividiendo el error absoluto entre el valor exacto de nuestra medición.

E_r = E_a / V_e

Porcentaje de error

Se obtiene multiplicando el error relativo por 100: E_r × 100.

Estadística

La estadística sirve para recoger, analizar e interpretar las características de un conjunto de individuos.

• Población: conjunto de individuos objeto de un estudio.
• Individuo: cada uno de los miembros de una población.
• Muestra: porción de la población elegida para realizar un estudio estadístico.

Técnicas de muestreo

Permiten obtener muestras fiables. La más importante es el muestreo aleatorio, en el que todos los individuos tienen las mismas posibilidades de ser elegidos. Puede ser con o sin reposición.

Variable estadística

• Cualitativa: se expresa mediante una palabra.
• Cuantitativa: se expresa mediante un número.
  • Discreta: toma valores aislados.
  • Continua: puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo.

X_i: valores que toma la variable estadística.
F_i: número de veces que aparece cada valor de la variable.

Representaciones gráficas

• Diagrama de barras: formado por barras separadas que relacionan cada valor de la variable con su frecuencia absoluta.
• Histograma: formado por barras juntas que relacionan cada intervalo de datos, en los que se agrupan los valores de la variable, con su frecuencia absoluta.
• Polígono de frecuencias: línea que une los extremos superiores de las barras de los diagramas de barras e histogramas.
• Diagrama de sectores: relaciona la frecuencia absoluta de una variable con cada valor mediante un sector de una circunferencia proporcional a dicha frecuencia.

Parámetros estadísticos

• Moda (Mo): valor de la variable que más se repite.
• Mediana (Me): marca la posición central de los datos ordenados.
• Media aritmética (x̄): x̄ = (x₁·f₁ + x₂·f₂ + ...) / (f₁ + f₂ + ...) = Σ(x_i·f_i) / n, donde n es la suma de las frecuencias.
• Rango: diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable.
• Varianza (s²): media de los cuadrados de las distancias de cada dato a la media: s² = Σ f_i(x_i − x̄)² / n.
• Desviación típica (s): raíz cuadrada de la varianza: s = √s².