Operaciones con Expresiones Algebraicas Racionales: Conceptos y Procedimientos

Definición de Expresiones Algebraicas Racionales

Llamaremos expresiones algebraicas racionales a las de la forma: R(x) = A(x) / B(x), donde A(x) y B(x) son polinomios de variable x, y B(x) ≠ 0.

Equivalencia de Expresiones

Para la expresión racional A(x) / B(x) pueden hallarse expresiones equivalentes mediante la fórmula:

A(x) / B(x) = (A(x) · N(x)) / (B(x) · N(x)), siendo N(x) cualquier polinomio no nulo.

Ejemplo: Las dos expresiones racionales (x² − 1) / (x³ + 3x² − x − 3) y 1 / (x + 3) son equivalentes para x ≠ 1 y x ≠ −1.

Propiedades de las Operaciones

Suma y Resta

La suma de expresiones algebraicas racionales es asociativa, conmutativa, cumple la ley de cierre y posee elemento neutro (0). Recordemos que restar es sumar el opuesto.

Multiplicación

La multiplicación de expresiones algebraicas racionales cumple con las siguientes propiedades:

• Ley de cierre.
• Propiedad asociativa.
• Propiedad conmutativa.
• Elemento neutro (1).
• Propiedad distributiva respecto de la suma y la resta.

División e Inverso Multiplicativo

Se llama inverso multiplicativo de una expresión algebraica racional A(x) / B(x) a la expresión B(x) / A(x), siempre que A sea no nulo.

Para dividir dos expresiones algebraicas racionales A(x) / B(x) y C(x) / D(x), operamos igual que en el conjunto Q:

A(x) / B(x) ÷ C(x) / D(x) = A(x) / B(x) · D(x) / C(x) = (A(x) · D(x)) / (B(x) · C(x)), con C(x) ≠ 0.

Ejemplo: (x − 1) / (3 − x) ÷ 2x / (x + 2) = (x − 1)(x + 2) / (3 − x)2x = (x² + x − 2) / (6x − 2x²).

Procedimientos para Operar

Suma y Resta

1. Factorizamos todos los denominadores.
2. Buscamos el mínimo común múltiplo (mcm) considerando los factores con su mayor exponente.
3. Ajustamos cada numerador multiplicándolo por el factor que le falta al denominador original para igualar al mcm.
4. Realizamos la propiedad distributiva y agrupamos términos semejantes en los numeradores.
5. Simplificamos el resultado si es posible.

Multiplicación

1. Factorizamos todos los numeradores y denominadores.
2. Simplificamos los factores comunes entre numeradores y denominadores.
3. Multiplicamos lo que queda en una sola fracción.

División

Se sigue el mismo procedimiento que en la multiplicación, con la diferencia de que se invierte la segunda fracción antes de operar.