Operaciones con Expresiones Algebraicas Racionales y Métodos de Factoreo

1. Operaciones Básicas (Multiplicación, División y Mismo Denominador)

• Multiplicación ( · ): Se realiza de forma directa. (A/B) · (C/D) = (A · C) / (B · D). Nota: No realices la propiedad distributiva al principio; deja la expresión indicada para simplificar o "tachar" términos comunes.
• División ( : ): Se debe invertir la segunda fracción y transformar la operación en una multiplicación: (A/B) : (C/D) = (A/B) · (D/C).
• Suma/Resta con Mismo Denominador: El denominador se mantiene igual. En el numerador, se opera directamente agrupando las x con las x y los números con los números.
  • Ejemplo de Resta: (5x + 4) / (x - 3) - (2x + 1) / (x - 3) = (5x + 4 - 2x - 1) / (x - 3) = (3x + 3) / (x - 3).
  • Importante: El signo menos cambia todos los signos de los términos que se encuentran detrás.

2. El MCM y Suma/Resta con Distinto Denominador

• ¿Qué es y cuándo se usa?: Es el Mínimo Común Múltiplo o denominador común inteligente. Se utiliza obligatoriamente si los denominadores son distintos.
• ¿Cómo se construye el MCM?: Se deben reunir todos los paréntesis o letras de los denominadores sin repetir. Si un término varía en su exponente, se elige el de mayor grado.
• Mecanismo de resolución:
  1. Factorizar los denominadores para identificar los bloques (paréntesis).
  2. Abajo: Colocar el MCM unificado en una sola línea larga.
  3. Arriba: Multiplicar cada numerador por "lo que le falte" a su denominador original para ser igual al MCM.
  4. Cierre: Aplicar propiedad distributiva en el numerador y agrupar términos semejantes.
• Ejemplo Maestro: 3 / (x² - 4) - 2 / (x + 2)
  • Factorización de denominadores: 3 / [(x + 2)(x - 2)] - 2 / (x + 2)
  • MCM (Denominador común): (x + 2)(x - 2)
  • Ajuste de numeradores: [3 - 2 · (x - 2)] / [(x + 2)(x - 2)]
  • Resolución final: (3 - 2x + 4) / [(x + 2)(x - 2)] = (-2x + 7) / [(x + 2)(x - 2)]

3. Los 6 Casos de Factorización y Fórmula Resolvente

• 1° Factor Común (Algo se repite):
  • 3x - 12 = 3(x - 4)
  • x² + 2x = x(x + 2)
• 2° Factor Común en Grupos (4 o 6 términos):
  • x³ + x² + 2x + 2 = x²(x + 1) + 2(x + 1) = (x + 1)(x² + 2)
• 3° Trinomio Cuadrado Perfecto (3 términos, raíz al 1° y 3°):
  • x² + 6x + 9 = (x + 3)²
  • x² - 8x + 16 = (x - 4)²
• 4° Cuatrinomio Cubo Perfecto (4 términos, raíz cúbica al 1° y 4°):
  • x³ + 3x² + 3x + 1 = (x + 1)³
• 5° Diferencia de Cuadrados (2 términos restando y con raíz cuadrada):
  • x² - a² = (x + a)(x - a)
  • Ejemplo: x² - 9 = (x + 3)(x - 3)
• 6° Suma o Resta de Potencias de Igual Grado (Cubos):
  • x³ - 1 = (x - 1)(x² + x + 1)
  • x³ + 8 = (x + 2)(x² - 2x + 4)
• Fórmula Resolvente (Bhaskara - Para ax² + bx + c):
  • x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)
  • El resultado factorizado queda expresado como: a · (x - x1) · (x - x2)

4. Hoja de Ruta Estratégica para el Examen

1. FACTORIZAR todas las expresiones posibles (tanto en el numerador como en el denominador) utilizando los casos mencionados en el punto 3.
2. DIVISIÓN: Si existe una división, invertir la fracción para transformarla en multiplicación.
3. SIMPLIFICAR (Tachar): Cualquier paréntesis idéntico que se encuentre arriba y abajo en las multiplicaciones se elimina.
4. SUMA/RESTA: Si quedan operaciones de suma o resta, aplicar el método del MCM (punto 2).
5. DISTRIBUTIVA FINAL: Resolver los paréntesis del numerador multiplicando, agrupar los términos semejantes y obtener el resultado final simplificado.