Operaciones con Funciones: Composición, Dominio y Cálculo de la Inversa

Operaciones Fundamentales con Funciones

Las funciones pueden combinarse de diversas maneras para crear nuevas funciones. A continuación, exploramos las principales operaciones y conceptos relacionados.

Funciones Algebraicas y Trascendentes

• Las funciones algebraicas son aquellas que pueden expresarse en términos de un número finito de sumas, diferencias, productos, cocientes y raíces que contienen la variable x.
• Las funciones trascendentes son aquellas que no pueden expresarse como funciones algebraicas. Ejemplos incluyen funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.

Dominio de Funciones Combinadas

El dominio de la función resultante en cada operación se compone de los números que son comunes a ambos dominios de f y de g. Sin embargo, en el caso de la división, los números x para los cuales g(x) = 0 deben excluirse del dominio del cociente.

Ejemplo: Si el dominio de f y g son todos los números reales, y se realiza una división como f(x) / (x - 5), el dominio de la función resultante serán todos los números reales, excepto cuando x = 5.

Composición de Funciones

La composición de funciones es una operación donde la salida de una función se convierte en la entrada de otra función.

Definición y Notación

Sean f: A → B y g: B → C dos funciones reales. La función compuesta de f con g, denotada como (g o f), se lee "g compuesta con f", y es la función dada por:

(g o f)(x) = g(f(x)) para cada x elemento de A.

Es importante destacar que la composición de f con g (f o g) puede no ser igual que la de g con f (g o f).

Dominio de la Función Compuesta

El dominio de (g o f) es el conjunto de todos los elementos x del dominio de f cuyas imágenes f(x) están en el dominio de g. En otras palabras, x es un elemento del dominio de (g o f) si y solo si x es un elemento del dominio de f y f(x) es un elemento del dominio de g.

Función Inversa

Una función inversa, denotada como f⁻¹(x), "deshace" la acción de la función original. Solo las funciones uno a uno (inyectivas) tienen una función inversa.

Pasos para Determinar la Función Inversa de una Función Uno a Uno

1. Reemplazar f(x) con y: Escribe la ecuación de la función como y = f(x).
2. Intercambiar las variables x e y: Sustituye cada x por y y cada y por x en la ecuación.
3. Despejar y en la ecuación: Resuelve la nueva ecuación para y.
4. Reemplazar y con f⁻¹(x): La expresión resultante para y es la función inversa.

Ejemplo: Determinemos la inversa de f(x) = 3x + 1, así como el dominio y rango de f y f⁻¹. Luego, tracemos la gráfica.