Operaciones con funciones: composición, dominio e inversa

Resumen

El texto explica cómo combinar funciones mediante operaciones, composición y función inversa. Aborda el dominio de las funciones combinadas, la notación y el dominio de la composición, y los pasos para hallar la inversa de una función uno a uno. Incluye ejemplos sobre división y sobre la inversa de f(x) = 3x + 1.

Puntos clave

La composición (g o f)(x) = g(f(x)) aplica primero f y después g a la salida.
En general, (g o f) y (f o g) no son iguales.
El dominio de (g o f) incluye los x del dominio de f tales que f(x) pertenece al dominio de g.
En un cociente f/g se excluyen los valores x para los que g(x) = 0.
Solo las funciones uno a uno (inyectivas) tienen función inversa.
Para hallar la inversa se escribe y = f(x), se intercambian x e y, se despeja y y se escribe f⁻¹(x).
Las funciones trascendentes no pueden expresarse como funciones algebraicas, como las trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.

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Operaciones Fundamentales con Funciones

Las funciones pueden combinarse de diversas maneras para crear nuevas funciones. A continuación, exploramos las principales operaciones y conceptos relacionados.

Funciones Algebraicas y Trascendentes

Las funciones algebraicas son aquellas que pueden expresarse en términos de un número finito de sumas, diferencias, productos, cocientes y raíces que contienen la variable x.
Las funciones trascendentes son aquellas que no pueden expresarse como funciones algebraicas. Ejemplos incluyen funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.

Dominio de Funciones Combinadas

El dominio de la función resultante en cada operación se compone de los números que son comunes a ambos dominios de f y de g. Sin embargo, en el caso de la división, los números x para los cuales g(x) = 0 deben excluirse del dominio del cociente.

Ejemplo: Si el dominio de f y g son todos los números reales, y se realiza una división como f(x) / (x - 5), el dominio de la función resultante serán todos los números reales, excepto cuando x = 5.

Composición de Funciones

La composición de funciones es una operación donde la salida de una función se convierte en la entrada de otra función.

Definición y Notación

Sean f: A → B y g: B → C dos funciones reales. La función compuesta de f con g, denotada como (g o f), se lee "g compuesta con f", y es la función dada por:

(g o f)(x) = g(f(x)) para cada x elemento de A.

Es importante destacar que la composición de f con g (f o g) puede no ser igual que la de g con f (g o f).

Dominio de la Función Compuesta

El dominio de (g o f) es el conjunto de todos los elementos x del dominio de f cuyas imágenes f(x) están en el dominio de g. En otras palabras, x es un elemento del dominio de (g o f) si y solo si x es un elemento del dominio de f y f(x) es un elemento del dominio de g.

Función Inversa

Una función inversa, denotada como f⁻¹(x), "deshace" la acción de la función original. Solo las funciones uno a uno (inyectivas) tienen una función inversa.

Pasos para Determinar la Función Inversa de una Función Uno a Uno

Reemplazar f(x) con y: Escribe la ecuación de la función como y = f(x).
Intercambiar las variables x e y: Sustituye cada x por y y cada y por x en la ecuación.
Despejar y en la ecuación: Resuelve la nueva ecuación para y.
Reemplazar y con f⁻¹(x): La expresión resultante para y es la función inversa.

Ejemplo: Determinemos la inversa de f(x) = 3x + 1, así como el dominio y rango de f y f⁻¹. Luego, tracemos la gráfica.

Preguntas frecuentes

¿Qué funciones tienen función inversa?

Solo las funciones uno a uno, también llamadas inyectivas. La función inversa f⁻¹(x) deshace la acción de la función original.

¿Cómo se calcula la composición de funciones?

Se denota (g o f)(x) = g(f(x)), es decir, la salida de f se convierte en la entrada de g. El dominio está formado por los x del dominio de f cuya imagen f(x) pertenece al dominio de g.

¿Qué valores se excluyen en el dominio de un cociente de funciones?

Se excluyen los números x para los cuales g(x) = 0 en el cociente f(x)/g(x). Por ejemplo, en f(x)/(x - 5) se excluye x = 5.