Operaciones y propiedades de los vectores en R2

Definición 4.1: Suma y resta de vectores en R2

Dados dos vectores ~v = (a, b) y ~u = (c, d) en R2, se define:

• w = ~v + ~u = (a + c, b + d).
• w = −~v = −(a, b) = (−a,−b)
• w = ~v − ~u = (a − c, b − d).

Combinaciones lineales de vectores

Definición 4.2: Dado un vector ~v = (a, b) en R2, se dice que ~v es una combinación lineal de los vectores ~v1, ~v2, ..., ~vn si ~v = 1 ~v1 + 2 ~v2 + · · · + n ~ vn, para ciertos números reales 1, 2, ..., n.

Observación 4.2: Todo vector de R2 es una combinación lineal de v1 = (1, 0) y v2 = (0, 1). De la misma forma, todo vector de R3 es una combinación lineal de v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 1) y v3 = (0, 0, 1).

Norma de un vector

Definición 4.3: Se define la norma de un vector ~v = (a, b) como el valor Norma de v = Raiz (a2 + b2+c2).

Observación 4.3: La norma se puede entender como la magnitud de un vector.

Propiedades de la norma

Teorema 4.1: Sean ~v, ~u en R2, entonces:

1. Norma v mayor o igual a 0
2. Si Norma = 0 entonces ~v = (0, 0)
3. |Landa*v| = |Landa| * |v|
4. |v + u| es menor o igual a |v| + |u| (Desigualdad triangular)

Ecuaciones de la recta

Definición 4.4: Se dice que dos vectores ~v y ~u son paralelos si y solo si ~v = Landa*~u, para algún Landa en R.

Observación: Dado un vector ~v = (a, b, c), con norma distinta de 1, podemos transformarlo en un vector de norma 1 (llamados vectores unitarios) preservando su sentido y dirección. Consiste en tomar ~u = ((a/|v|), (b/|v|), (c/|v|))

Dado dos puntos P y Q (con vectores posición ~u y ~w respectivamente), el vector que comienza en P y termina en Q se calcula con la siguiente expresión: ~v = P~Q = ~w − ~u

Ecuación vectorial de la recta (en R2 y R3)

Ecuación determinada por un punto y una dirección: Si conocemos un punto A de la recta y un vector ~d que sigue la dirección de la recta (llamado vector director), entonces la ecuación de la recta es: ~r = ~a + Landa*~d. Esto significa que cualquier vector ~r de la recta, está determinado por esta expresión, para algún valor de Landa en R.

Ecuación determinada por dos puntos: Dados dos puntos A y B (con vectores posición ~a y ~b), entonces la ecuación de la recta que pasa por estos dos puntos está dada por ~r = ~a + (~b −~a).