Optimización de Inversiones y Modelos Avanzados de Valoración de Activos

Vida Económica y Vida Óptima de los Activos

• Vida económica o física: Es el tiempo total durante el cual el camión puede funcionar antes de quedar totalmente inservible o técnicamente obsoleto.
• Vida óptima: Es el periodo de tiempo que maximiza la rentabilidad (o minimiza los costes) de la inversión. A medida que un camión envejece, sus costes de mantenimiento y reparación aumentan, y su valor de reventa disminuye. La vida óptima nos indica en qué año exacto nos resulta más rentable vender el camión viejo y comprar uno nuevo, y suele ser más corta que la vida económica.

Cálculo de la vida óptima

Para calcular la vida óptima de los camiones, se debe utilizar el criterio de la Anualidad Equivalente (o Coste Anual Equivalente si solo hay flujos de salidas). El procedimiento es el siguiente:

1. Se calcula el Valor Actual Neto (VAN) de la inversión suponiendo que el camión se renueva cada año (n = 1), cada 2 años (n = 2), y así sucesivamente hasta su límite de vida económica.
2. Como los VAN obtenidos son de proyectos con diferente duración, no son directamente comparables. Para homogeneizarlos, se distribuye el VAN de cada alternativa en cuotas anuales constantes utilizando la fórmula de la Anualidad Equivalente:

   AE = (VAN · k) / [1 − (1 + k)⁻ⁿ]

3. La vida óptima será aquel año n que nos proporcione la mayor Anualidad Equivalente (o el menor Coste Anual Equivalente).

Varianza Residual y Diversificación de Carteras

”La varianza residual de una cartera la podemos hacer cero siempre”

Comentario de la expresión

La afirmación es correcta desde un punto de vista teórico. La varianza residual (también conocida como riesgo específico, idiosincrático, diversificable o no sistemático) representa aquella parte del riesgo total de un activo o cartera que depende de factores exclusivos de la propia empresa (por ejemplo, una huelga, éxito de un producto, cambio de directiva, etc.). Este riesgo puede eliminarse totalmente (hacerse cero) mediante la diversificación ingenua o de Markowitz, es decir, aumentando el número de activos diferentes que componen la cartera.

Justificación Analítica

Partimos del Modelo de Mercado o Modelo de Índice Único de Sharpe. El riesgo total (varianza) de una cartera p compuesta por n activos se divide en riesgo sistemático y riesgo residual:

σ²ₚ = β²ₚ σ²ₘ + σ²ε,ₚ

Donde σ²ε,ₚ es la varianza residual de la cartera. Sabiendo que la esperanza de los términos de error cruzados es cero (los riesgos específicos de diferentes empresas no están correlacionados), la varianza residual de la cartera es la suma ponderada de las varianzas residuales individuales:

σ²ε,ₚ = Σ (x²ᵢ σ²ε,ᵢ)

Modelo Cero-Beta CAPM

Explique la casuística, construcción, características y propiedades de dicho modelo. Incluya gráficas cuando proceda. ¿Qué condiciones cumple el activo Cero-Beta? Justifique su respuesta.

Casuística e Introducción

El modelo Cero-Beta CAPM (o CAPM de Black, desarrollado por Fischer Black en 1972) surge como una relajación de uno de los supuestos más restrictivos del CAPM tradicional (modelo de Sharpe-Lintner): la existencia de un activo libre de riesgo (Rf) al cual los inversores pueden prestar y, sobre todo, pedir prestado cantidades ilimitadas. En la realidad, las tasas de endeudamiento son mayores que las de préstamo, o el acceso a préstamos sin riesgo está restringido. Black demostró que el CAPM sigue siendo válido incluso si no existe un activo libre de riesgo.

Construcción y Propiedades del Modelo

Si no existe activo libre de riesgo, los inversores racionales seleccionarán sus carteras a lo largo de la Frontera Eficiente de Markowitz (solo activos con riesgo). Según la matemática de carteras, cualquier combinación lineal de dos carteras eficientes genera otra cartera eficiente. Fischer Black demostró matemáticamente que para toda cartera eficiente sobre la frontera (como la cartera de mercado M), existe una única cartera (denominada cartera Cero-Beta, Z) ubicada en la mitad inferior (ineficiente) de la frontera de mínima varianza, cuya covarianza con la cartera M es cero (Cov(RM, Rz) = 0).

Condiciones que cumple el activo o cartera Cero-Beta (Z)

1. Descorrelación total con el mercado: Sus rendimientos no varían en función de los movimientos de la cartera de mercado. Su riesgo sistemático es nulo (βz = 0).
2. No tiene riesgo mínimo absoluto: Es importante no confundirla con la Cartera de Mínima Varianza Global (V). Z tiene riesgo total (σz > 0) y se sitúa en el tramo ineficiente de la hipérbola. Sin embargo, es la cartera con mínima varianza entre todas las carteras que están incorrelacionadas con el mercado.
3. Intercepto de la SML: Su rentabilidad esperada actúa como ordenada en el origen de la nueva Línea del Mercado de Títulos. Empíricamente, se ha demostrado que E(Rz) suele ser superior al tipo de interés libre de riesgo del CAPM tradicional, lo que genera una SML más plana (explicando por qué los activos de baja beta tienden a dar retornos mayores a los predichos por el CAPM clásico).

Justificación Gráfica

En el espacio de Markowitz (Riesgo σ vs Rentabilidad Esperada E(R)), la cartera Cero-Beta se obtiene trazando una recta tangente a la frontera eficiente en el punto M (Cartera de Mercado). La intersección de esta tangente con el eje de ordenadas determina el valor E(Rz). Trazando una línea horizontal desde ese punto hasta la parte inferior de la frontera de mínima varianza, encontramos el punto Z.