Optimización Lineal y Transformaciones Geométricas con Matrices Ortogonales

Ejercicio 1: Programación Lineal y Vértices Óptimos

El Ejercicio 1 trataba sobre programación lineal, demostrando que el óptimo siempre recae en un vértice del polígono de factibilidad. Se generó un polígono a partir de los números de estudiante, se enumeraron sus vértices y, posteriormente, se varió la dirección del vector de costo $c(\alpha) = (\cos \alpha, \sin \alpha)$. Para cada dirección, se resolvió el problema y se observó a qué vértice cae el óptimo, comprobando que nunca queda en el interior del polígono. También se analizaron los casos de múltiples óptimos (cuando el costo es paralelo a una arista) y de vértices degenerados.

Ejercicio 2: Matrices Ortogonales 2x2 y Clasificación Geométrica

El Ejercicio 2 abordó las matrices ortogonales 2x2. Se demostró que sus autovalores tienen módulo 1 y se clasificaron geométricamente: si el determinante (det) = +1, se trata de una rotación; si el determinante (det) = -1, es una reflexión. Esto se verificó mediante código, graficando cómo actúan estas matrices sobre el círculo unidad.

Metodología y Desarrollo

• a) Construcción del polígono (Matriz $A$ y vector $b$): Cada restricción se escribe como $a \cdot x < b$, lo que representa una fila de la matriz $A$ y su valor correspondiente en el vector $b$. Se inició con una caja delimitada por $x_1 > 0, x_2 > 0, x_1 \leq X_{max}, x_2 \leq Y_{max}$ y se agregaron semiplanos adicionales que recortan la caja para formar el polígono. Todo fue generado a partir de los números de estudiante (que fijan una semilla), por lo que a cada grupo le correspondió un polígono distinto pero reproducible.
• b) Definición del vector de costos $c(\alpha)$: Es un vector unitario que gira según la expresión $c(\alpha) = (\cos \alpha, \sin \alpha)$. Al variar $\alpha$ de $0$ a $2\pi$, apunta en todas las direcciones posibles. El polígono permanece fijo y lo único que cambia es hacia dónde "empuja" la función objetivo para determinar qué vértice es óptimo en cada dirección.
• c) Enumeración de los vértices: Un vértice es el cruce de dos restricciones. Se recorrieron todos los pares de restricciones, se resolvió el sistema 2x2 de cada par y se conservaron solo los puntos que son factibles (aquellos que cumplen todas las demás restricciones $Ax < b$), descartando los repetidos.
• d) Clasificación de la matriz (Ej. 2): Se calculó el determinante: si $\det = +1$ es una rotación (el ángulo se obtiene de la traza, $tr = 2\cos \theta$); si $\det = -1$ es una reflexión (el eje es la dirección que queda fija, es decir, el autoespacio de $\lambda = 1$).

Propiedades Algebraicas y Demostraciones

Autovalores Reales en Matrices Simétricas

Demostrar que si $A \cdot x = \lambda \cdot x$, con $x \neq \vec{0}$, entonces $\lambda \in \mathbb{R}$:

$\lambda \|v\|^2 = \lambda \langle v, v \rangle = \langle \lambda v, v \rangle = \langle Av, v \rangle = \langle v, A^* v \rangle = \langle v, A^T v \rangle = \langle v, Av \rangle = \langle v, \lambda v \rangle = \bar{\lambda} \langle v, v \rangle = \bar{\lambda} \|v\|^2$

Distancia Mínima y Proyección Ortogonal

Utilizando el Teorema de Pitágoras:
$\|v - s\|^2 = \|v - v_0\|^2 + \|v_0 - s\|^2 \geq \|v - v_0\|^2 \implies \|v - s\| \geq \|v - v_0\|$ (donde $v_0 = P_S(v)$ es la proyección ortogonal).
La distancia mínima de $v$ a $S$ es igual a $\|v - P_S(v)\|$.

Ecuación Normal y Ajuste de Datos

La ecuación normal se define como: $A^T A x = A^T b$.
Dependiendo de las filas de $A$, se pueden realizar los siguientes ajustes:

• Recta: $[1, x]$
• Parábola: $[x^2, x, 1]$
• Plano: $[1, x_1, x_2]$
• Ajuste de constante: Equivale al promedio.

Conceptos Clave de Optimización

• Óptimo en un VÉRTICE: Ocurre debido a que las curvas de nivel son rectas.
• Vértice: Es el cruce de dos restricciones que resulta factible.
• Restricción Activa: Es aquella que se cumple con una igualdad ("=").
• Región NO acotada: Requiere analizar la existencia de soluciones (mínimo vs. máximo según la dirección de crecimiento).