Optimización con Lagrange y Kuhn-Tucker: condiciones y clasificación
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Resumen
El documento resume las condiciones de primer y segundo orden de Lagrange para optimización con restricciones de igualdad, incluyendo el criterio del Hessiano orlado para clasificar puntos críticos. Después expone las condiciones de Kuhn-Tucker (estacionariedad, holgura complementaria y signo de los multiplicadores) y los criterios de convexidad del programa para decidir si un punto es máximo o mínimo global.
Puntos clave
- Condición de primer orden de Lagrange: las derivadas parciales de la función Lagrangiana respecto a todas sus variables deben ser iguales a 0.
- Para clasificar un punto crítico con una restricción de igualdad se usa el Hessiano orlado, evaluando los menores principales de orden n-m.
- Si el determinante tiene el mismo signo que (-1)^m el punto es mínimo; si tiene signo distinto, es máximo.
- Las condiciones de Kuhn-Tucker exigen estacionariedad, holgura complementaria (λi·gi(x,y)=0) y signo adecuado de los multiplicadores (≥0 para máximo, ≤0 para mínimo).
- Un programa es convexo para mínimo si el conjunto factible es convexo y la función objetivo es convexa; para máximo, si la función objetivo es cóncava.
- El multiplicador de Kuhn-Tucker cambiado de signo aproxima la variación del valor óptimo ante cambios unitarios en el recurso limitado.
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Condiciones de Lagrange
Condiciones de 1º Orden
DE LAGRANGE: si un punto es un extremo local, las derivadas parciales de la función Lagrangiana respecto a todas sus variables deben ser iguales a 0 (hacemos f Lag y sus derivados respect x y landa). CONDICIONES SUF DE 2º ORDEN: Hessiano Orlado, para poder clasificar el punto critico, construimos la matriz Hessiana orlada y evaluamos sus menores principales para saber si el punto es un máximo local o un mínimo local. Tamaño m hessorld (mxn)x(mxn) n=nº variables del prob m=nº restricciones de igualdad. Como solo tenemos m=1 simplemente una casilla 1x1,. Hacemos derivadas restricc y derivados 2º f lag. MENORES A CALCULAR CUANDO HAY RESTRICCIONES: n-m (det). APLICAMOS CONST FIJA (-1)^m. Det mismo signo que cte fija = PUNTO MINIMO. Det signo distinto a cte fija = PUNTO MÁXIMO
ES MÁXIMO O MIN (LAG): Hacemos hessiana normal de la función objetivo 2das derivadas etc. CUANTO VARIARA NOSE QUE: El multiplicador i-ésimo de Kuhn Tucker cambiado de signo aproxima la variación del valor óptimo de la función objetivo frente a cambios unitarios en la limitación del recurso i-ésimo
JUSTIFIQUE SI ES UN PROGRAMA CONVEXO PARA MAXIMO Y/O PARA MINIMO: se calsifica su convexidad siguiendo estas dos reglas:
1) Es un programa convexo para mínimo si y solo si el conjunto factible B es un conjunto convexo y la función objetivo es una función convexa 2) es un programa convexo para máximo si y solo si el conjunto factible B es un conjunto convexo y la función objetivo es una función cóncava
CONDICIONES KUNH TUCK: Para que un punto sea candidato a max/minimo local, se deben cumplir obligatoriamente 3 condiciones:
1) condicion de estacionariedad al/ax=0 al/ay=0
2)condicion de holgura complementaria landa i x gi(xy)=0 para cada restricción i
3)condicion de signo de los multiplicadores: al ser para un máximo los multiplicadores deben ser >=0 y para un mínimo <=0
PASOS PARA ESTE EJERCICIO:1) Hacer f lag
2) Hacer derivadas parciales (x y landa)
3)Analizamos punto (x,y) en las restricciones para ver si están activas o no, las que no están activas serán landa=0 , sustituimos los landa nulos en las derivadas y vamos sacando valores de landa. QUE HACER CUANDO TODAS LAS RESTRICCIONES SON ACTIVAS: sustituimos el punto que nos dan en las derivadas y sacamos valores de landa
4) Analizamos valores y signos de landa si hay dos landa 1 con valores distintos NO se cumplen condiciones. Si hay dos landas y ambos son positivos ej landa1=3 landa2=6 si se cumplen condiciones para máximo y viceversa para negativo
JUSTIFIQUE SI ES UN PROGRAMA CONV PARA MAX Y O PARA MIN PASOS:1) hacemos hessiana normal de todas las restricciones que haya y analizamos con tabla 2) hacemos hessiana f objetivo y analizamos de igual manera 3) conclusiones para min conj B convexo + función f obj convexa= si es programa convexo para mínimo. para max conj B convexo + función f obj concava= si es un programa convexo para máximo
si los menores principales son | La matriz Hf es | Clasifi | Tipo de curvatura |
|---|---|---|---|
| D1>0 D2>0 | DEFINIDA POSITIVA | MINIMO LOCAL ESTRCITO | ESTRICT CONVEXA |
| D1<0 D2>0 | DEFINIDA NEGATIVA | MAXIMO LOCAL ESTRICTO | ESTRICT CONCAVA |
| D<0 o signos alternos | INDEFINIDA | PUNTO DE SILLA | NO ES GLOBAL |
D1>=0 D2>=0 D1<=0 D2>=0 | SDP SDN | CASO DUDOSO | CONVEXA CONCAVA |
Preguntas frecuentes
¿Cómo se clasifica un punto crítico con el Hessiano orlado?
Se construye la matriz Hessiana orlada y se evalúan sus menores principales de orden n-m. Si el determinante tiene el mismo signo que (-1)^m el punto es un mínimo, y si tiene signo distinto es un máximo.
¿Qué pasa con los multiplicadores de Kuhn-Tucker en restricciones no activas?
Si una restricción no está activa en el punto, su multiplicador correspondiente vale 0. Después se sustituyen los multiplicadores nulos en las derivadas para calcular los demás.
¿Cuándo es convexo un programa para máximo o para mínimo?
Es convexo para mínimo si el conjunto factible es convexo y la función objetivo es convexa. Es convexo para máximo si el conjunto factible es convexo y la función objetivo es cóncava.
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