Optimización Matemática: Lagrange y Kuhn-Tucker Explicados

Condiciones de Lagrange

Condiciones de 1º Orden

DE LAGRANGE: si un punto es un extremo local, las derivadas parciales de la función Lagrangiana respecto a todas sus variables deben ser iguales a 0 (hacemos f Lag y sus derivados respect x y landa). CONDICIONES SUF DE 2º ORDEN: Hessiano Orlado, para poder clasificar el punto critico, construimos la matriz Hessiana orlada y evaluamos sus menores principales para saber si el punto es un máximo local o un mínimo local. Tamaño m hessorld (mxn)x(mxn) n=nº variables del prob m=nº restricciones de igualdad. Como solo tenemos m=1 simplemente una casilla 1x1,. Hacemos derivadas restricc y derivados 2º f lag. MENORES A CALCULAR CUANDO HAY RESTRICCIONES: n-m (det). APLICAMOS CONST FIJA (-1)^m. Det mismo signo que cte fija = PUNTO MINIMO. Det signo distinto a cte fija = PUNTO MÁXIMO

ES MÁXIMO O MIN (LAG): Hacemos hessiana normal de la función objetivo 2das derivadas etc. CUANTO VARIARA NOSE QUE: El multiplicador i-ésimo de Kuhn Tucker cambiado de signo aproxima la variación del valor óptimo de la función objetivo frente a cambios unitarios en la limitación del recurso i-ésimo 

JUSTIFIQUE SI ES UN PROGRAMA CONVEXO PARA MAXIMO Y/O PARA MINIMO: se calsifica su convexidad siguiendo estas dos reglas:

1) Es un programa convexo para mínimo si y solo si el conjunto factible B es un conjunto convexo y la función objetivo es una función convexa 2) es un programa  convexo para máximo si y solo si el conjunto factible B es un conjunto convexo y la función objetivo es una función cóncava

CONDICIONES KUNH TUCK: Para que un punto sea candidato a max/minimo local, se deben cumplir obligatoriamente 3 condiciones:

1) condicion de estacionariedad al/ax=0 al/ay=0 

2)condicion de holgura complementaria landa i x gi(xy)=0 para cada restricción i 

3)condicion de signo de los multiplicadores: al ser para un máximo los multiplicadores deben ser >=0 y para un mínimo <=0 

PASOS PARA ESTE EJERCICIO:1) Hacer f lag

2) Hacer derivadas parciales (x y landa)

3)Analizamos punto (x,y) en las restricciones para ver si están activas o no, las que no están activas serán landa=0 , sustituimos los landa nulos en las derivadas y vamos sacando valores de landa. QUE HACER CUANDO TODAS LAS RESTRICCIONES SON ACTIVAS: sustituimos el punto que nos dan en las derivadas y sacamos valores de landa 

4) Analizamos valores y signos de landa si hay dos landa 1 con valores distintos NO se cumplen condiciones. Si hay dos landas y ambos son positivos ej landa1=3 landa2=6 si se cumplen condiciones para máximo y viceversa para negativo 

JUSTIFIQUE SI ES UN PROGRAMA CONV PARA MAX Y O PARA MIN PASOS:1) hacemos hessiana normal de todas las restricciones que haya y analizamos con tabla 2) hacemos hessiana f objetivo y analizamos de igual manera 3) conclusiones para min conj B convexo + función f obj convexa= si es programa convexo para mínimo. para max conj B convexo + función f obj concava= si es un programa convexo para máximo