Optimización de Modelos de Programación Lineal en Logística y Operaciones

1. Ejercicio de Distribución Logística (25 pts)

Dos fábricas de zapatillas se enlazan con dos centros de distribución (CD) para llegar a tres destinos internacionales, como se detalla a continuación:

La Fábrica El Llano (1) tiene un costo de producción de $3.000 y la Fábrica El Contento (2) de $5.000. Se observa que El Contento tiene permitido realizar envíos directos a Buenos Aires (7), dado que al CD de Cali (4) no se le permite mantener inventario. Por otra parte, el CD de Bogotá (3) tiene la posibilidad de almacenar inventarios de hasta 1.000 unidades, con un costo de $2.000 por unidad.

Respecto a los envíos, existen ciudades con una excelente relación comercial, por lo que se permiten traslados en ambas direcciones; este es el caso entre el CD de Bogotá (3) y Cali (4), así como entre Buenos Aires (7) y Madrid (6).

Requerimientos del Ejercicio

• a) Formula el ejercicio como Programación Lineal (PL) o Programación Lineal Entera (PLE) para minimizar los costos. (Define variables, función objetivo y restricciones).
• b) Resolver en Solver y registrar el resultado.

Definición de Variables

• X_ij: Cantidad de pares de zapatillas a enviar desde el origen i al destino j.
• I₃: Cantidad de pares almacenados como inventario en Bogotá.
• i = {El Llano, El Contento, Bogotá, Cali, Madrid, Buenos Aires}
• j = {Bogotá, Cali, Miami, Madrid, Buenos Aires}

Función Objetivo (Minimizar Costos)

Min Z = 4500X₁₃ + 4900X₁₄ + 6500X₂₃ + 6900X₂₄ + 7300X₂₇ + 1000X₃₄ + 4500X₃₅ + 6000X₃₆ + 1000X₄₃ + 3900X₄₅ + 5100X₄₆ + 7000X₄₇ + 1200X₆₇ + 1200X₇₆ + 2000I₃

Restricciones

Restricciones de Oferta (Suma X_ij ≤ OFERTA)

• Fábrica Llano: X₁₃ + X₁₄ ≤ 40.000
• Fábrica Contento: X₂₃ + X₂₄ + X₂₇ ≤ 30.000

Nodos de Transbordo (Ingresos = Salidas + Inventario)

• Nodo 3 (Bogotá): X₁₃ + X₂₃ + X₄₃ = X₃₄ + X₃₅ + X₃₆ + I₃
• Nodo 4 (Cali): X₁₄ + X₂₄ + X₃₄ = X₄₃ + X₄₅ + X₄₆ + X₄₇

Restricciones de Demanda (Suma X_ij ≥ DEMANDA)

• Destino 5 (Miami): X₃₅ + X₄₅ ≥ 30.000
• Destino 6 (Madrid): X₃₆ + X₄₆ + X₇₆ - X₆₇ ≥ 25.000
• Destino 7 (Buenos Aires): X₂₇ + X₄₇ + X₆₇ - X₇₆ ≥ 15.000

Restricciones de Capacidad y Naturaleza

• Capacidad Bogotá: I₃ ≤ 1.000
• No negatividad: X_ij ≥ 0
• Integridad: X_ij, I₃ ∈ Enteros

2. Caso McDonald's: Asignación de Tareas (15 pts)

McDonald's necesita repartir 4 trabajos (freír, picar, servir, armar) a sus 4 nuevos empleados (Pedro, Juan, Lucas y Elías). El costo de realizar cada trabajo se ha determinado en función de sus habilidades individuales.

La siguiente tabla resume dichos costos. Cabe destacar que el Trabajador 1 no puede realizar el Trabajo 3, y el Trabajador 3 no puede realizar el Trabajo 4.

Requerimientos del Ejercicio

• a) Escriba el problema como PLE para minimizar el costo y describa cada una de las restricciones. (Solo planteamiento).
• b) Suponga que se dispone de un quinto trabajador para realizar las cuatro tareas con los costos respectivos de $60, $45, $30 y $80. Escriba las restricciones que cambiarían. (Solo planteamiento).

Vuelta

Definición de Variables

• X_ij = 1 si se asigna al trabajador i al trabajo j; 0 en caso contrario.
• i = {1: Pedro, 2: Juan, 3: Lucas, 4: Elías}
• j = {1: Freír, 2: Picar, 3: Servir, 4: Armar}

Función Objetivo (Minimizar Tiempo/Costo)

Min Z = 50X₁₁ + 50X₁₂ + 20X₁₄ + 70X₂₁ + 40X₂₂ + 20X₂₃ + 30X₂₄ + 90X₃₁ + 30X₃₂ + 50X₃₃ + 70X₄₁ + 20X₄₂ + 60X₄₃ + 70X₄₄

Restricciones

Asignación de Trabajadores (Cada uno realiza exactamente 1 trabajo)

• Pedro: X₁₁ + X₁₂ + X₁₄ = 1
• Juan: X₂₁ + X₂₂ + X₂₃ + X₂₄ = 1
• Lucas: X₃₁ + X₃₂ + X₃₃ = 1
• Elías: X₄₁ + X₄₂ + X₄₃ + X₄₄ = 1

Asignación de Trabajos (Cada tarea es realizada por 1 trabajador)

• Freír: X₁₁ + X₂₁ + X₃₁ + X₄₁ = 1
• Picar: X₁₂ + X₂₂ + X₃₂ + X₄₂ = 1
• Servir: X₂₃ + X₃₃ + X₄₃ = 1
• Armar: X₁₄ + X₂₄ + X₄₄ = 1
• Naturaleza: X_ij ∈ {0, 1} (Binarios)

b) Supuesto de un Quinto Trabajador

Si se agrega un Trabajador 5, la restricción de los trabajadores (i) cambia a ser de tipo "menor o igual", indicando que realizan como máximo una tarea (ya que al haber 5 trabajadores y solo 4 tareas, uno quedará libre):

Nuevas Restricciones de Trabajadores (Máximo 1 tarea)

• Pedro: X₁₁ + X₁₂ + X₁₄ ≤ 1
• Juan: X₂₁ + X₂₂ + X₂₃ + X₂₄ ≤ 1
• Lucas: X₃₁ + X₃₂ + X₃₃ ≤ 1
• Elías: X₄₁ + X₄₂ + X₄₃ + X₄₄ ≤ 1
• Trabajador 5: X₅₁ + X₅₂ + X₅₃ + X₅₄ ≤ 1

Nuevas Restricciones de Trabajos (Deben ser realizados)

(Se debe sumar la variable del nuevo trabajador 5 a cada tarea)

• Freír: X₁₁ + X₂₁ + X₃₁ + X₄₁ + X₅₁ = 1
• Picar: X₁₂ + X₂₂ + X₃₂ + X₄₂ + X₅₂ = 1
• Servir: X₂₃ + X₃₃ + X₄₃ + X₅₃ = 1
• Armar: X₁₄ + X₂₄ + X₄₄ + X₅₄ = 1

3. Caso Spotify: Optimización de Playlist (20 pts)

Durante el trayecto de Alto Hospicio a Iquique, que dura exactamente 30 minutos, se desea confeccionar una lista de reproducción óptima. Debido a la gran variedad de gustos, se asignará una preferencia del 1 al 10 a cada canción.

Condiciones: Elegir al menos una canción de cada género, al menos una de un grupo chileno y al menos dos en inglés. Además, existe una condicionalidad: si se elige la canción de Shakira, obligatoriamente se debe incluir "Despechá".

• X_i = 1 si se elige la canción i; 0 en caso contrario.
• i = 1, 2, ..., 15

Función Objetivo (Maximizar Preferencias)

Max Z = 3X₁ + 5X₂ + 4X₃ + 6X₄ + 8X₅ + 7X₆ + 9X₇ + 10X₈ + 3X₉ + 10X₁₀ + 10X₁₁ + 7X₁₂ + 6X₁₃ + 7X₁₄ + 8X₁₅

Restricciones

• Duración del viaje: 4X₁ + 5X₂ + 3X₃ + 4X₄ + 5X₅ + 3X₆ + 2X₇ + 4X₈ + 6X₉ + 5X₁₀ + 6X₁₁ + 5X₁₂ + 7X₁₃ + 4X₁₄ + 2X₁₅ ≤ 30 min
• Género Pop: X₁ + X₁₃ + X₁₅ ≥ 1
• Género Lenta: X₂ + X₇ + X₁₂ + X₁₄ ≥ 1
• Género Reggaetón: X₃ + X₄ + X₆ + X₈ ≥ 1
• Género Rock: X₅ + X₉ + X₁₀ + X₁₁ ≥ 1
• Grupo Chileno: X₁₁ + X₁₂ ≥ 1
• Idioma Inglés: X₁ + X₂ + X₃ + X₅ + X₁₀ + X₁₃ + X₁₄ + X₁₅ ≥ 2
• Condicional (Shakira → Despechá): X₁ - X₈ ≤ 0
• Mínimo de canciones: X₁ + X₂ + ... + X₁₅ ≥ 6

Restricciones Adicionales Inventadas

1. Límite de canciones lentas: X₂ + X₇ + X₁₂ + X₁₄ ≤ 2
2. Exclusión de épocas: X₁₀ + X₅ ≤ 1 (Si escucho Girls Just Want to Have Fun, no escucho I Will Survive)
3. Favoritas obligatorias (Nota 10): X₈ + X₁₀ + X₁₁ ≥ 1
4. Naturaleza: X_i ∈ {0, 1}

Resultados Obtenidos en Solver

Resultado: Spotify

Se elaboró la lista de reproducción óptima logrando una preferencia máxima de 67 puntos, utilizando los 30 minutos exactos del viaje. Las canciones seleccionadas son: 'Nochentera', 'A quién le importa', 'Coti x Coti', 'Despechá', 'Girls Just Want to Have Fun', 'Corazones Rojos', 'These Boots Are Made for Walking' y 'Baby One More Time'.

Resultado: La Distribución

Se transportaron los productos minimizando el inventario y los costos totales (producción y transporte) a un valor de $601.000.000. El detalle del flujo se presenta a continuación: