Optimización de Recursos en la Pesca: Resolución de Programación Lineal y Dualidad
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Optimización de la Capacidad Pesquera: Modelo de Programación Lineal
Se dispone de 2 barcas con una capacidad conjunta de 2000 Tm de pescado. Cada embarcación puede capturar 2 Tm de bacalao grande y 8 Tm de bacalao pequeño, con precios de venta de 200 y 100 um/kg, respectivamente. Los costes operativos ascienden a 500.000 um. Las condiciones operativas exigen que las barcas regresen a plena capacidad y transporten un mínimo de 1000 Tm de bacalao pequeño.
Formulación del Modelo
Definimos el modelo matemático para maximizar el beneficio (Z):
- Función objetivo: [Max] Z' = 200XG + 100XP - 500XD (donde Z = z' * 1000)
- Restricciones:
- XG ≤ 2XP
- XP ≤ 8XD
- XG + XP = 2000
- XP ≥ 1000
- XG, XP, XD ≥ 0
Tabla Final del Método Simplex
| Ci | V.B | XG | XP | XD | h1 | h2 | a3 | h4 | a4 | b |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 200 | XG | 1 | 0 | 0 | 4/5 | -1/5 | 1/5 | 0 | 0 | 400 |
| 100 | XP | 0 | 1 | 0 | -4/5 | 1/5 | 4/5 | 0 | 0 | 1600 |
| 0 | h4 | 0 | 0 | 0 | -4/5 | 1/5 | 4/5 | 1 | -1 | 600 |
| -500 | XD | 0 | 0 | 1 | -1/10 | -1/10 | 1/10 | 0 | 0 | 200 |
| - | z' | 0 | 0 | 0 | 130 | 30 | 70+M | 0 | M | 140000 |
A) Programa Dual y Valores de las Variables
El programa dual se formula como [Min] Z'D = 2000w3 + 1000w4, sujeto a las restricciones de dualidad correspondientes. Los resultados obtenidos son:
- XG: 400 Tm
- XP: 1600 Tm
- XD: 200 Días
- h4: 600 Tm (excedente de bacalao pequeño)
- Beneficio Z: 140.000.000 um
- Variables Duales: w1 = 130 um/Tm (bacalao grande), w2 = 30 um/Tm (bacalao pequeño), w3 = 70 um/Tm, w4 = 0.
B) Análisis de Sensibilidad del Precio (c2)
Para determinar los límites en los que se mantiene la base óptima ante variaciones en el precio del bacalao pequeño (c2), calculamos los costes reducidos (CR) de las variables no básicas:
- Para h1: CR = 160 - 4/5c2 + 50 ≥ 0 → c2 ≤ 525/2
- Para h2: CR = 40 + 1/5c2 + 50 ≥ 0 → c2 ≤ 1/50
C) Cambio en la Carga Mínima
Si la carga mínima de bacalao pequeño aumenta a 1800 Tm, recalculamos la solución básica (XB) mediante la matriz inversa D^-1 * B'4:
| XB = D^-1 * B'4 = [400, 1600, 3400, 200]^T |
Dado que todos los valores son ≥ 0, la estructura básica se mantiene válida bajo las nuevas condiciones.