Pasos para la resolución de ejercicios de cálculo de varias variables

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Convergencia de sucesiones

Convergencia puntual

Resolver el límite:

Convergencia uniforme

  • Enunciar el criterio del supremo:

Para comprobar si existe convergencia uniforme, se utilizará el criterio de caracterización del supremo, que afirma que converge uniformemente a en M si y solo si:

  • Calcular

  • Calcular el valor máximo (supremo) que puede alcanzar el valor absoluto anterior en el intervalo marcado por
  • Comprobar que el supremo tiende a cero cuando

Series de potencias

Series de la forma:

Estudiar convergencia

  • Calcular radio de convergencia:

Si la serie es complicada, se puede derivar respecto de y calcular el radio de convergencia de la serie derivada, ya que posee el mismo radio.

  • La serie converge absolutamente para . No converge fuera del intervalo.
  • Estudiar los extremos (Si r es )
    • Sustituir de la serie original por uno de los valores de
    • Comprobar si la serie converge o no converge. Un método rápido es el criterio del resto, que afirma que si la serie es divergente.

Desarrollo en serie de potencias

Continuidad en funciones de varias variables

Límites

  • Comprobar si existe indeterminación.

Valores de que anulen la función, es decir, que vuelvan esta indeterminada.

  • Calcular límites iterados.
    donde
    • Si coinciden, ir al paso 3.
    • No coinciden à No existe límite.
  • Calcular límites direccionales.


    Si todas las direcciones coinciden con el valor de los iterados, ir al paso 4.
    Si al menos uno no coincide, entonces no existe el límite.
  • Demostrar la existencia del límite.
    • Por la definición de límite.
    • Por paso a polares.
  • Sustituir:
  • Comprobar que:

  • Y que se cumpla que:

Diferenciabilidad

Notación

  • Derivada parcial:
  • Derivada direccional:
  • Diferencial:

Calcular el diferencial de una función

Si existen todas las derivadas parciales y son continuas, se puede afirmar que es continua y diferenciable. Si no son continuas, no se puede afirmar nada sobre su continuidad ni diferenciabilidad.

Si la función presenta zonas conflictivas o está definida a trozos, se puede utilizar la definición de derivada direccional para demostrar su continuidad:

Una vez comprobada que la función es diferenciable, el diferencial se puede calcular de la forma:

Relaciones

Multiplicar matrices: multiplicar cada fila por cada columna y sumar:

Matriz Jacobiana

Se define la matriz Jacobiana de como:

Plano tangente a una función de dos variables

Dada una función su plano tangente es de la forma:

Igualando a cero se obtiene la ecuación del plano tangente.

Cálculo de extremos de funciones de varias variables

En un conjunto abierto

  • Buscar los puntos críticos resolviendo el sistema:

  • Construir la matriz Hessiana de :

  • Para las soluciones comprobar que están dentro del conjunto y para las que si lo estén, calcular el determinante de la matriz Hessiana evaluada para . Entonces:
    • Si el determinante es mayor que cero y entonces es un Mínimo. En caso contrario es un Máximo.
    • Si el determinante es menor que cero, es un punto de silla.
    • Si el determinante es cero, no se conoce información.

En un conjunto vacío (Multiplicadores de Lagrange)

Dada una función y un recinto (Condición de ligadura)

  • Construir la función:

  • Resolver el sistema:

  • Si hay más de un punto crítico, basta con comparar el valor de la función en cada par . En caso contrario, es necesario calcular el discriminante de la forma:

  • Si será un mínimo, si un máximo y en caso contrario no podemos afirmar nada.

En un compacto (conjunto cerrado y acotado)

  • Buscar puntos críticos en el interior mediante el método de conjuntos abiertos.
  • Definir las fronteras y buscar puntos críticos en ella. Es posible que sea necesario emplear los multiplicadores de Lagrange, ya que las fronteras son conjuntos vacíos.
  • Estudiar y comparar el valor de para todos los puntos críticos obtenidos y en los vértices del conjunto.

Teorema de la función implícita

Dada la función , un entorno y , z podrá despejarse como función implícita de e si cumple:

  • Existen las derivadas parciales y son continuas
  • Si la función posee dos funciones coordenadas, se comprueba que

Y por tanto, se puede enunciar el teorema de la función implícita:

Sabemos que existen abiertos tales que y y una función con las siguientes propiedades:

Teorema de la función inversa

Dada la función y

  • Comprobar que
  • Enunciar el teorema de la función inversa:

F es invertible en un entorno de y cumple:

Polinomio de Taylor en funciones de varias variables

Dada la función , un orden y

  • Calcular:


Integración múltiple

Son integrales de la forma:

Región rectangular

Cuando la región a integrar es de la forma , entonces el resultado es:

Recintos básicos

Cuando la región a integrar está acotada, es no vacía y su frontera se puede expresar con funciones de variable real. Entonces, por el teorema de Fubini:

Donde

En muchas ocasiones será necesario un cambio de variable para poder realizar la integral. Por ejemplo, cuando la región es una circunferencia, es conveniente usar coordenadas polares para resolver la integral.

Cambios de variable en una integral múltiple

Para cambiar el tipo de coordenadas en una integral múltiple, se debe aplicar la fórmula:

En coordenadas polares, el Jacobiano de la transformación siempre es .


Integración curvilínea

Son integrales de la forma:

Mediante parametrización

Si la curva se expresa mediante una región, se puede parametrizar ésta para formar una función e integrar a lo largo de dicha curva de la forma:

Donde Si solo tiene una coordenada, entonces

Si la curva es una semicircunferencia, se puede expresar como:

Mediante el teorema de Green

Dada una función y un abierto acotado que define bien a y cuya frontera ( es una curva cerrada simple y diferenciable, se calcula la integral:

Que es una integral múltiple de recinto básico

Teorema de la divergencia

Dado D un abierto acotado cuya frontera ( es una curva cerrada simple y diferenciable, se cumple:

  • Calcular la divergencia de F:

  • Calcular la integral múltiple de recinto básico:

Comprobar si un campo es conservativo

Dado un campo es conservativo si:

Si existe tal que , entonces se denomina potencial de

Ecuaciones diferenciales

De variables separadas

  • Dejar a un lado de la ecuación los valores dependientes de y en el otro los valores dependientes de
  • Integrar en ambas partes y resolver la

Homogéneas

De la forma

  • Comprobar que y son homogéneas del mismo grado:

  • Realizar el cambio , con lo que la ecuación se convierte en una de variables separadas.

Lineales

Pueden presentarse de la forma:

Se llama ecuación lineal homogénea, y la ecuación es de variables separadas. La solución es:

Se resuelve mediante el método de variación de las constantes. La solución es:

Método de variación de las constantes

  • Se busca la solución para la ecuación homogénea (igualando ), que será de la forma:

  • La constante de la solución homogénea se convierte a una función.

  • Calcular
  • Sustituir en la ecuación original ( los valores obtenidos en los pasos anteriores. Si todo es correcto, en este paso debe poderse simplificar sumandos y quitarse .
  • Resolver y sustituir su valor en la ecuación del paso 2.

Exactas

De la forma:

  • Comprobar que es exacta si cumple:

  • Hallar que cumpla y . Para ello se integra M ó N y se busca . Por ejemplo:
    • La solución será

Factor integrante

No cumplen las condiciones para ser exactas pero pueden convertirse en ellas con un factor integrante tal que:

Suponiendo un factor integrante que depende sólo de x:

  • Resolver
  • Aplicar el factor y resolver la ecuación exacta.

Algunos factores integrantes que se pueden probar:

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