Perpendicularidad

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Perpendicularidad

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Para el término náutico semejante, véase perpendicular de proa y popa.
La semirrecta AB es perpendicular a la recta CD, porque los dos ángulos que conforma son de 90 grados (en naranja y azul, respectivamente).

En geometría, la perpendicular de una línea o plano, es la que forma ángulo recto con la dada.

La relación de perpendicularidad se puede dar entre:

  • Rectas: dos rectas coplanarias son perpendiculares cuando, al cortarse, dividen al plano en cuatro regiones iguales, cada una de los cuales es un ángulo recto. Al punto de intersección de dos rectas perpendiculares se le llama pie de cada una de ellas en la otra.
    • Semirrectas: dos semirrectas son perpendiculares, cuando conforman ángulos rectos teniendo o no el mismo punto de origen.
  • Planos: dos planos son perpendiculares cuando conforman cuatro ángulos diedros de 90º.
    • Semiplanos: dos semiplanos son perpendiculares cuando conforman ángulos diedros de 90°; generalmente, compartiendo la misma recta de origen.

Además, puede existir una relación de perpendicularidad entre los cuatro elementos anteriores, tomados de dos en dos.

= Si dos rectas al cortarse forman ángulos adyacentes congruentes, son perpendiculares. Por analogía, si dos planos al cortarse forman ángulos diedros adyacentes congruentes, son perpendiculares.Los lados de un ángulo diedro y sus semiplanos opuestos determinan dos planos perpendiculares).

Contenido

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[editar] Postulado de unicidad

En un plano, por un punto perteneciente o exterior a una recta pasa una y solo una recta perpendicular.

[editar] Construcción de la perpendicular a una recta por un punto dado

Construcción de la perpendicular (azul) a la línea AB a través del punto P.

Para construir una perpendicular a la línea AB a través del punto P usando regla y compás, procede como sigue:

  • Paso 1 (rojo): dibuja un círculo con centro en P para crear los puntos A' y B' en la línea AB, los cuales son equidistantes a P.
  • Paso 2 (verde): dibuja dos círculos centrados en A' y B', pasando los dos por P. Sea Q el otro punto de intersección de estos dos círculos.
  • Paso 3 (azul): une P y Q para obtener la perpendicular PQ.

Para probar que PQ es perpendicular a AB, usa el teorema de congruencia SSS para los triángulos QPA' y QPB' para demostrar que los ángulos OPA' y OPB' son iguales. Luego usa el teorema de congruencia SAS para los triángulos OPA' y OPB' para demostrar que los ángulos POA y POB son iguales.

[editar] Con relación a líneas paralelas

Las líneas a y b son paralelas, como se ve por los cuadrados, y están cortadas por la línea transversal c.

Como se ve en la figura, si dos líneas (a y b) son perpendiculares a una tercera línea (c), todos los ángulos formados en la tercera línea son ángulos rectos. Por lo tanto, en Geometría euclidiana, cualquier par de líneas que son perpendiculares a una tercera línea son paralelas entre sí, debido al quinto postulado de Euclides. Por el contrario, si una línea es perpendicular a una segunda línea, también es perpendicular a cualquier línea paralela a la segunda línea.

En la figura, todos los ángulos naranjas son congruentes entre sí y todos los ángulos verdes son congruentes entre sí, porque los ángulos opuestos por el vértice son congruentes y los ángulos alternos interiores formados por un corte transversal de líneas paralelas son congruentes. Por lo tanto, si las líneas a y b son paralelas, cualquiera de las conclusiones siguientes conduce a todas las demás:

  • Uno de los ángulos del diagrama es un ángulo recto.
  • Uno de los ángulos naranja es congruente con uno de los ángulos verdes.
  • La línea c es perpendicular a la línea a.
  • La línea c es perpendicular a la línea b.

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