Polinomio de Taylor: definición y propiedades

En el apartado anterior vimos que, en el entorno de un punto, una función se puede aproximar por su recta tangente. Ahora vamos a generalizar esta información. En concreto, para una función n-veces derivable en un punto 𝑎, hallaremos un polinomio de orden 𝑛 que se parezca a la función en un entorno de dicho punto, exigiéndole que las 𝑛 primeras derivadas de la función coincidan con las del polinomio. La recta tangente será el caso particular para 𝑛 = 1.

Polinomio de Taylor: definición

Sea f una función con derivadas hasta orden 𝑛 en un punto 𝑎. Entonces, existe un único polinomio P(x) de grado menor o igual que 𝑛, que cumple:

• 𝑃(𝑎) = 𝑓(𝑎)
• 𝑃 ′ (𝑎) = 𝑓 ′ (𝑎)
• …
• 𝑃 (𝑛) (𝑎) = 𝑓 (𝑛) (𝑎)

Este polinomio se denomina Polinomio de Taylor de orden n en el punto a, y viene dado por:

𝑃(𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝑓 ′ (𝑎) · (𝑥 − 𝑎) + 𝑓 ′′(𝑎) 2 (𝑥 − 𝑎) 2 + 𝑓 ′′′(𝑎) 3! (𝑥 − 𝑎) 3 + ⋯ + 𝑓 (𝑛) (𝑎) 𝑛! (𝑥 − 𝑎) 𝑛 [15]

O, lo que es lo mismo:

𝑃(𝑥) = ∑ 𝑓 (𝑘) (𝑎) 𝑘! (𝑥 − 𝑎) 𝑘 𝑛 𝑘=0 [15.1]

donde 𝑓 (𝑘) (𝑎) es la derivada k-ésima evaluada en 𝑥 = 𝑎 y 𝑘! es el factorial de k, siendo:

• 0! = 1
• 1! = 1
• 2! = 2 · 1 = 2
• 3! = 3 · 2 · 1 = 6
• 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24
• ···
• 𝑘! = 𝑘 · (𝑘 − 1) · (𝑘 − 2) · … · 2 · 1

Comentarios:

El polinomio de Taylor de orden 1 es la recta