Teorema de Rouché-Fröbenius

Un sistema de ecuaciones lineales, AX = b, es compatible si, y solo si, el rango de la matriz de coeficientes A es igual al rango de la matriz ampliada (A | b):

Sistema compatible ⇔ rango(A) = rango(A | b)

Teorema de Bolzano

Si f(x) es continua en [a, b] y en los extremos del intervalo toma valores de signo contrario, entonces ∃ c ∈ ]a, b[: f(c) = 0.

Teorema de Rolle

Si f(x) es una función continua en [a, b], derivable en (a, b) y tal que f(a) = f(b), entonces ∃ c ∈ (a, b): f'(c) = 0.

Teorema del Valor Medio (de Lagrange)

Si f(x) es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces ∃ c ∈ (a, b) tal que:

(f(b) - f(a)) / (b - a) = f'(c)

Regla de L'Hôpital para 0/0

Sean f(x) y g(x) dos funciones derivables en un entorno E de a y tales que:

• f(a) = g(a) = 0
• g' no se anula en E

Si existe el límite finito lim f'(x)/g'(x), entonces existe también lim f(x)/g(x), y además son iguales.

Fórmula de integración por partes

Sean f y g dos funciones con derivadas continuas. Entonces:

∫ f g' dx = f g - ∫ f' g dx

Regla de Barrow

Si f(x) es una función continua en [a, b] y F(x) es una primitiva de f(x), entonces:

∫_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)

Definiciones

Definición de función continua en un punto

Una función y = f(x), definida en un entorno de a, es continua en a cuando: lim_x→a f(x) = f(a)

Definición de función derivable en un punto

Sea f: A ⊆ ℝ → ℝ una función y a ∈ A ∩ A'. f es derivable en x = a si existe el límite:

lim_h→0 (f(a + h) - f(a)) / h ∈ ℝ

En cuyo caso, dicho límite se representa por f'(a).

Definición de paralelismo entre recta y plano

Una recta y un plano son paralelos cuando no se cortan, es decir, no tienen ningún punto en común.

Definición de perpendicularidad entre recta y plano

Una recta r y un plano π son perpendiculares cuando el vector director de la recta es paralelo al vector normal del plano:

r ⊥ π ⇔ u_r ∥ n_π

Derivada de una función en un punto

La derivada de una función en un punto es igual a la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto:

y - f(a) = f'(a)(x - a)

Interpretación geométrica del Teorema del Valor Medio

Si se cumplen las hipótesis del teorema en el intervalo [a, b], existe al menos un punto c ∈ (a, b) en el que su recta tangente es paralela al segmento determinado por los puntos A(a, f(a)) y B(b, f(b)).