¿Cómo se calcula la probabilidad condicional P(A|B)?

Se divide la probabilidad de la intersección entre A y B por la probabilidad de B: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B). El documento aplica esta fórmula en los tres casos resueltos.

¿Cómo se calcula P(A|B') cuando B no ocurre?

Se usa P(A|B') = [P(A) − P(A ∩ B)] / [1 − P(B)], es decir, se resta la intersección del total de A y se divide entre el complemento de B.

Probabilidad condicional: ejercicios resueltos con eventos dependientes

Resumen

Este documento presenta ejercicios resueltos de probabilidad condicional, intersección de eventos y cálculo de complementos. Se aplican a tres contextos: inscripción de estudiantes en materias, puntualidad de vuelos y estadísticas de graduación universitaria por género. El estudiante aprenderá a usar la fórmula P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) y a combinar eventos complementarios.

Puntos clave

La probabilidad condicional se define como P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), siempre que P(B) > 0.
Para calcular P(A|B') se usa [P(A) − P(A ∩ B)] / [1 − P(B)].
En el caso de inscripción, P(H|M) = (22/100) / (42/100) = 22/42.
En el caso de vuelos, P(A|D) = 0.78 / 0.83 ≈ 0.94 y P(D|A) = 0.78 / 0.82 ≈ 0.95.
P(U|M) se obtiene a partir de P(U ∩ M) = P(M|U) · P(U) y dividiendo entre P(M).

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Introducción a la Probabilidad Condicional

A continuación, se presentan diversos ejercicios resueltos donde se aplica el concepto de probabilidad condicional, la intersección de eventos y el cálculo de complementos en diferentes contextos académicos y logísticos.

Caso 1: Inscripción de Estudiantes en Diversas Materias

Definimos los siguientes eventos:

M = “El estudiante está inscrito en Matemáticas”.
P = “El estudiante está inscrito en Psicología”.
H = “El estudiante está inscrito en Historia”.

Resolución de incisos:

(a) Si el estudiante está inscrito en Matemáticas, que curse Historia:

Utilizamos la fórmula de probabilidad condicional:

P(H|M) = P(H ∩ M) / P(M) = (22/100) / (42/100) = 22/42.

(b) Si el estudiante está inscrito en Psicología, que curse las tres materias:

P(P ∩ M ∩ H | P) = P(P ∩ M ∩ H ∩ P) / P(P) = P(P ∩ M ∩ H) / P(P) = (10/100) / (68/100) = 10/68.

(c) Si el estudiante no está inscrito en Psicología, que curse Historia y Matemáticas:

P(H ∩ M | P^c) = P(H ∩ M ∩ P^c) / P(P^c) = [P(H ∩ M) − P(H ∩ M ∩ P)] / [1 − P(P)] = (22/100 − 10/100) / (1 − 68/100) = 12/32.

Caso 2: Puntualidad en Salidas y Llegadas de Aviones

Consideramos los eventos A (el avión llega a tiempo) y D (el avión salió a tiempo).

Probabilidades calculadas:

(a) Probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo:
P(A|D) = P(A ∩ D) / P(D) = 0.78 / 0.83 = 0.94.
(b) Probabilidad de que un avión haya salido a tiempo, dado que llegó a tiempo:
P(D|A) = P(D ∩ A) / P(A) = 0.78 / 0.82 = 0.95.
(c) Probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que no salió a tiempo:
P(A|D') = [P(A) − P(A ∩ D)] / [1 − P(D)] = (0.82 − 0.78) / (1 − 0.83) = 0.24.
(d) Probabilidad de que un avión no llegue a tiempo, dado que salió a tiempo:
P(A'|D) = [P(D) − P(A ∩ D)] / P(D) = (0.83 − 0.78) / 0.83 = 0.06.
(e) Probabilidad de que un avión haya salido a tiempo, dado que no llegó a tiempo:
P(D|A') = [P(D) − P(A ∩ D)] / [1 − P(A)] = (0.83 − 0.78) / (1 − 0.82) = 0.28.
(f) Probabilidad de que un avión no haya salido a tiempo, dado que llegó a tiempo:
P(D'|A) = [P(A) − P(A ∩ D)] / P(A) = (0.82 − 0.78) / 0.82 = 0.05.

Caso 3: Estadísticas de Graduación Universitaria por Género

Sean los eventos U = “Terminó 4 años de universidad” y M = “Es mujer”.

Análisis de datos:

(a) Dado que una persona completó cuatro años de la universidad en el año 2000, ¿cuál es la probabilidad de que la persona sea mujer?

En el año 2000, según los datos proporcionados: P(M|U) = 0.43.

(b) Para una mujer en 2015, ¿cuál es la probabilidad de que haya terminado cuatro años de universidad?

Datos para 2015: P(U) = 0.22, P(M|U) = 0.53 y P(M) = 0.5. La probabilidad requerida es P(U|M).

Primero, calculamos la intersección P(U ∩ M):
P(U ∩ M) = P(M|U) * P(U) = (0.53)(0.22) = 0.1166.

Por lo tanto:
P(U|M) = P(U ∩ M) / P(M) = 0.1166 / 0.5 = 0.2332.

(c) Para un hombre en 2015, ¿cuál es la probabilidad de que no haya terminado la universidad?

Este inciso requiere el cálculo del complemento del evento U dado el complemento del evento M (hombres), basándose en la distribución demográfica y académica del periodo mencionado.