Programación Multiobjetivo: Métodos MULT, AHP, PROMETHEE y Markowitz

1. MULT

MULT (estimar, a partir de un problema multiobjetivo con variables y restricciones similares, excepto que se pasa a ser objetivo).

/*/ Empleamos métodos de restricciones para obtener soluciones eficientes optimizando un objetivo y considerando otro como restricción paramétrica.

/*/ Dando valores al segundo miembro de la restricción y resolviendo para cada uno de ellos, obtenemos soluciones eficientes. Los valores estarán entre su peor y mejor valor, puntos anti-ideal e ideal.

/*/ Min = ... Max = ... Si la restricción paramétrica es de máximo, el signo de la restricción es ≥.

METAS PONDERADAS (Max/Min = ... + N1 - P1, siendo las variables de desviación no deseada).

/*/ F.O.: minimizar la suma de las variables de desviación no deseada. Para convertirla en función homogénea, que todas las variables tengan la misma importancia, se divide por el valor de cada meta para no sumar cantidades expresadas en distintas unidades. Según el enunciado.

METAS CON PRIORIDADES (algunas metas son absolutamente prioritarias a otras. Se resuelven mediante un programa lineal de la meta de primer nivel, minimizando los componentes de la función de logro).

a) Resolvemos el programa lineal de la primera meta minimizando la variable de desviación: FO_Q1 Min = ... Si al resolver el modelo la variable de desviación = 0, hemos logrado la meta de primer nivel, siendo las restricciones las metas y las mismas restricciones del ejercicio anterior.

b) FO_Q2 Min = ... Si al resolver = 0 hemos logrado la meta de segundo nivel, se ha suprimido la variable de desviación "anterior" para no empeorar la meta de primer nivel cuando intentamos alcanzar las de segundo nivel. Este valor se introduce en el modelo para el tercer nivel de prioridad.

2. AHP

AHP (matriz de comparación por pares de n alternativas con respecto a un criterio).

1º) Calculamos la suma de las columnas de la matriz A. Dividimos cada valor de la matriz por el total de su columna para obtener la matriz normalizada. Una vez obtenida la matriz normalizada, obtenemos los pesos o prioridades w.

2º) Calcular lambda para obtener nuestras preferencias.

3º) Calcular IC y comprobarlo con IA.

4º) La consistencia de la matriz se considera aceptable si IC < 0,1. Podemos aceptar los valores obtenidos para las prioridades de cada alternativa. En caso contrario, deberemos revisar las comparaciones por pares de la matriz para que sea menor que 0,1.

3. PROMETHEE

PROMETHEE (índice de preferencia agregada de x respecto al resto...)

Flujo + = 1/(n-1) * (... + ...)

(índice de preferencia agregada del resto respecto a x...)

Flujo - = 1/(n-1) * (... + ...)

(Flujo neto = flujo positivo - flujo negativo)

/*/ Seleccionar aquellas... cuyo flujo neto es mayor, las mejores teniendo en cuenta su comportamiento respecto a los criterios considerados y las preferencias de la empresa, reflejadas en las funciones de preferencia y en los pesos de cada criterio.

4. Markowitz

MARKOWITZ (modelo de carteras eficientes de inversión en valores; las variables x_i (i = 1, 2, ..., n) representan la proporción de cada valor en la cartera).

/*/ Objetivos del inversor: máxima rentabilidad esperada y mínimo riesgo total de la cartera.

/*/ Rentabilidad esperada R(X): suma ponderada de las rentabilidades medias de los valores que componen la cartera, donde los pesos son las proporciones de cada activo, que son variables de decisión del modelo.

/*/ Riesgo de la cartera se mide mediante la varianza de la rentabilidad total de la cartera V(X), mediante la expresión correspondiente.

5. Pesos locales y globales (AHP)

Pesos o prioridades locales se obtienen a partir de las matrices de comparaciones por pares cuando se comparan criterios en el mismo nivel de jerarquía respecto a un criterio en nivel superior, o cuando se comparan alternativas con respecto a un criterio del nivel anterior de la jerarquía. Representan pesos o contribución relativa de un criterio/alternativa respecto a un criterio del nivel superior.

Prioridades globales de las alternativas se calculan ponderando sus prioridades locales con los pesos o prioridades de los criterios, permitiendo seleccionar o priorizar las alternativas en un problema de decisión.

6. Comparación por pares AHP-PROMETHEE

AHP: comparación por pares entre criterios del mismo nivel respecto a un criterio de nivel superior y entre alternativas con respecto a criterios del nivel anterior de la jerarquía de decisión. Es necesario conocer la contribución relativa de una alternativa sobre otra respecto a cada criterio.

PROMETHEE: las comparaciones por pares solo se establecen entre alternativas y es necesario conocer el comportamiento de las alternativas para cada criterio de forma cualitativa o cuantitativa a través de una tabla de evaluación. Sin embargo, en AHP solo es necesario conocer las preferencias.

7. Ejemplos

• Metas ponderadas: programación de medios publicitarios.
• AHP: planificación estratégica o determinación de pesos de los objetivos.
• PROMETHEE: priorizar o seleccionar proyectos, inversiones o personal.
• Multiobjetivo: no tenemos una única solución, sino un conjunto de soluciones eficientes. Una solución es eficiente cuando no podemos mejorar ningún objetivo sin empeorar otro.
• Un objetivo: se obtiene la solución óptima.
• Programación lineal: se obtienen óptimos globales; garantiza que todas las variables sean no negativas. En caso de ser −, 0, +, hay que indicarlo en el software. Resuelve cualquier modelo de programación lineal.
• Programación no lineal: obtiene óptimos locales; no garantiza la no negatividad de las variables y hay que indicarlo al resolverlas. No puede resolver cualquier modelo con funciones no lineales.

8. Soluciones eficientes

SOLUCIONES EFICIENTES: se pueden obtener maximizando uno de los objetivos, incluyendo los restantes objetivos como restricciones paramétricas. Se obtiene una solución eficiente para cada valor que demos al RHS de las restricciones paramétricas, punto ideal y punto anti-ideal.

MARKOWITZ: se cambia el valor de la rentabilidad deseada de la cartera y se resuelve el modelo que minimiza el riesgo de la cartera. Se obtiene la composición de la cartera y el riesgo asociado a la misma para cada valor que demos a la rentabilidad esperada. La frontera eficiente representa, para cada valor de la rentabilidad total esperada de la cartera, el mínimo riesgo, medido por su desviación típica.