Propiedades Fundamentales de las Funciones Exponenciales y Logarítmicas

Funciones Exponenciales y Logarítmicas: Propiedades y Teoremas

Función Exponencial de Base 2

Se define la función exponencial de base 2 como la función definida de los números reales en los números reales.

Propiedades:

• Es continua en el conjunto de los números reales.
• Es estrictamente creciente.
• Es una función inyectiva.
• Propiedad de producto: 2^r · 2^s = 2^r+s (el producto de potencias de la misma base es otra potencia de la misma base y de exponente la suma de sus exponentes).

Límites y Comportamiento:

• lim_x→-∞ 2^x = 0
• lim_x→+∞ 2^x = +∞
• 0 < 2^x < 1 si x < 0
• 2^x = 1 si x = 0
• 2^x > 1 si x > 0

Función Exponencial de Base e

• Es continua en ℝ.
• Es estrictamente creciente e inyectiva.
• Propiedad: e^r · e^s = e^r+s

Límites y Comportamiento:

• lim_x→-∞ e^x = 0
• lim_x→+∞ e^x = +∞
• 0 < e^x < 1 si x < 0
• e^x = 1 si x = 0
• e^x > 1 si x > 0

Función Exponencial de Base 1/2

• Es continua en ℝ.
• Es estrictamente decreciente e inyectiva.
• Propiedad: (1/2)^s · (1/2)^r = (1/2)^r+s

Límites y Comportamiento:

• lim_x→-∞ (1/2)^x = +∞
• lim_x→+∞ (1/2)^x = 0
• (1/2)^x > 1 si x < 0
• (1/2)^x = 1 si x = 0
• 0 < (1/2)^x < 1 si x > 0

Función Logarítmica de Base 2

• Es continua en su dominio (reales positivos).
• Es estrictamente creciente e inyectiva.
• lim_x→0 log₂(x) = -∞
• lim_x→+∞ log₂(x) = +∞

Comportamiento:

• log₂(x) < 0 si 0 < x < 1
• log₂(x) = 0 si x = 1
• log₂(x) > 0 si x > 1

Teoremas de los Logaritmos

• Producto: El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos.
• Cociente: El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia de los logaritmos.
• Potencia: El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base.