Propiedades del Límite de una Función Vectorial y sus Demostraciones
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Límite de una Función Vectorial: Propiedades
Sean r(t) = ⟨r₁(t), r₂(t), r₃(t)⟩ y s(t) = ⟨s₁(t), s₂(t), s₃(t)⟩ dos funciones vectoriales. Asumimos que sus límites cuando t → t₀ existen y corresponden a los vectores L y M:
- limt→t₀ r(t) = ⟨L₁, L₂, L₃⟩ = L
- limt→t₀ s(t) = ⟨M₁, M₂, M₃⟩ = M
I. Límite de una suma
Demostración paso a paso:
limt→t₀ [ r(t) + s(t) ]
= limt→t₀ ⟨ r₁(t) + s₁(t), r₂(t) + s₂(t), r₃(t) + s₃(t) ⟩ (Por definición de suma de funciones vectoriales)
= ⟨ limt→t₀ [r₁(t) + s₁(t)], limt→t₀ [r₂(t) + s₂(t)], limt→t₀ [r₃(t) + s₃(t)] ⟩ (Por límite de una función vectorial por componentes)
= ⟨ L₁ + M₁, L₂ + M₂, L₃ + M₃ ⟩ (Por límite de una suma de funciones escalares)
= ⟨ L₁, L₂, L₃ ⟩ + ⟨ M₁, M₂, M₃ ⟩ (Por definición de suma de vectores)
= L + M (Sustituyendo por los vectores límite)
= limt→t₀ r(t) + limt→t₀ s(t)
II. Producto por un escalar (siendo c una constante)
Demostración paso a paso:
limt→t₀ [ c · r(t) ]
= limt→t₀ ⟨ c · r₁(t), c · r₂(t), c · r₃(t) ⟩ (Por definición de producto por escalar)
= ⟨ limt→t₀ [c · r₁(t)], limt→t₀ [c · r₂(t)], limt→t₀ [c · r₃(t)] ⟩ (Por límite de función vectorial por componentes)
= ⟨ c · L₁, c · L₂, c · L₃ ⟩ (El límite de una constante por una función es la constante por el límite)
= c · ⟨ L₁, L₂, L₃ ⟩ (Extrayendo el escalar del vector)
= c · L (Sustituyendo por el vector límite)
= c · limt→t₀ r(t)
III. Producto escalar
Demostración paso a paso:
limt→t₀ [ r(t) · s(t) ]
= limt→t₀ [ r₁(t)s₁(t) + r₂(t)s₂(t) + r₃(t)s₃(t) ] (Por definición de producto escalar)
= limt→t₀ [r₁(t)s₁(t)] + limt→t₀ [r₂(t)s₂(t)] + limt→t₀ [r₃(t)s₃(t)] (Por límite de una suma de funciones escalares)
= L₁M₁ + L₂M₂ + L₃M₃ (Por límite de un producto de funciones escalares)
= ⟨ L₁, L₂, L₃ ⟩ · ⟨ M₁, M₂, M₃ ⟩ (Reescribiendo como producto escalar de vectores)
= L · M (Sustituyendo por los vectores límite)
= limt→t₀ r(t) · limt→t₀ s(t)
IV. Producto vectorial
Demostración paso a paso:
limt→t₀ [ r(t) × s(t) ]
= limt→t₀ ⟨ r₂(t)s₃(t) - r₃(t)s₂(t), r₃(t)s₁(t) - r₁(t)s₃(t), r₁(t)s₂(t) - r₂(t)s₁(t) ⟩ (Desarrollo del producto vectorial)
= ⟨ limt→t₀ [r₂(t)s₃(t) - r₃(t)s₂(t)], limt→t₀ [r₃(t)s₁(t) - r₁(t)s₃(t)], limt→t₀ [r₁(t)s₂(t) - r₂(t)s₁(t)] ⟩ (Por límite de función vectorial por componentes)
= ⟨ L₂M₃ - L₃M₂, L₃M₁ - L₁M₃, L₁M₂ - L₂M₁ ⟩ (Por límite de sumas y productos escalares)
= ⟨ L₁, L₂, L₃ ⟩ × ⟨ M₁, M₂, M₃ ⟩ (Reescribiendo como producto vectorial de dos vectores)
= L × M (Sustituyendo por los vectores límite)
= limt→t₀ r(t) × limt→t₀ s(t)