Propiedades de Matrices, Determinantes y Sistemas Lineales

Propiedades de Matrices y Determinantes

Sean A y B dos matrices de orden 3, con |A| = 3 y |B| = -5:

• Rg(A) = 3: Dado que su determinante es no nulo.
• Rg(B) = 3.
• |A²| = |A · A| = |A| · |A| = 3 · 3 = 9.
• |-A| = (-1)³ · |A| = -1 · 3 = -3.
• |A⁻¹| = 1 / |A| = 1/3.
• |3Bᵗ| = 3³ · |B| = 27 · (-5) = -135.
• |2A| = 2³ · |A| = 8 · 3 = 24.
• |ABᵗ| = |A| · |Bᵗ| = |A| · |B| = 3 · (-5) = -15.
• |BAᵗ| = |B| · |Aᵗ| = |B| · |A| = -5 · 3 = -15.
• |B⁻¹AB| = |B⁻¹| · |A| · |B| = (1/|B|) · |A| · |B| = |A| = 3.
• |3A⁻¹| = 3³ · |A⁻¹| = 27 · (1/|A|) = 27 · (1/3) = 9.
• |(3A)⁻¹| = 1 / |3A| = 1 / (3³ · |A|) = 1 / (27 · 3) = 1/81.

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Matriz Ampliada

La matriz ampliada (A*) es la matriz A junto con la columna de los términos independientes. Si el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas, la matriz A es cuadrada.

Teorema de Rouché-Frobenius

La condición necesaria y suficiente para que un sistema lineal tenga solución (sea compatible) es que el Rg(A) de la matriz de coeficientes coincida con el Rg(A*) de la matriz ampliada:

• Si Rg(A) = Rg(A*) = nº incógnitas: Sistema Compatible Determinado (SCD).
• Si Rg(A) = Rg(A*) < nº incógnitas: Sistema Compatible Indeterminado (SCI).

Demostración: El sistema AX = B es compatible si y solo si la columna B de los términos independientes es combinación lineal (C.L.) de las columnas de A, lo que implica que Rg(A) = Rg(A*).

Regla de Cramer

Se aplica en sistemas con el mismo número de ecuaciones que de incógnitas y donde el determinante de la matriz de coeficientes es ≠ 0. Es un método de resolución donde se sustituye la columna de la incógnita a despejar por la columna de los términos independientes.

Programación Lineal

Inecuaciones Lineales

Expresión de la forma ax + by + c ≥ 0 o ≤ 0. Geométricamente, representa el conjunto de puntos de uno de los dos semiplanos en los que la recta divide al plano.

Región Factible

• Sistema de inecuaciones lineales: Conjunto de puntos del plano que cumplen todas las inecuaciones del sistema.
• Recinto (R): Puede ser acotado o no.
• Región factible: Puntos del plano que están en el recinto convexo; sus soluciones factibles determinan la totalidad de los puntos válidos.
• Función objetivo: Representación matemática del objetivo general donde se pretende tomar la mejor decisión.
• Valor del programa lineal: Valor que toma la función objetivo en el punto de maximización o minimización.

Conceptos de Determinantes

• Menor complementario: Del elemento aᵢⱼ, es el determinante de la matriz cuadrada de orden n-1 que se obtiene al eliminar en A la fila i y la columna j. Se denota como αᵢⱼ.
• Adjunto de un elemento: Es su menor complementario precedido de un signo + si i+j es par, o un - si i+j es impar.