Propiedades de los Números Reales y Operaciones con Radicales

Los Números Reales y su Representación

A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número real. Los números reales pueden ser representados en la recta con tanta aproximación como queramos, pero hay casos en los que podemos representarlos de forma exacta.

Números Racionales

Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero. Los números decimales (decimal exacto, periódico puro y periódico mixto) son números racionales; pero los otros números decimales ilimitados no.

La suma, la diferencia, el producto y el cociente de dos números racionales es otro número racional. Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un número entero. La raíz de un número racional no siempre es un número racional; esto solo ocurre cuando la raíz es exacta y, si el índice es par, el radicando ha de ser positivo.

Los Números Irracionales

Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas; por tanto, no se pueden expresar en forma de fracción. El número irracional más conocido es pi (π), que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.

Operaciones con Radicales

Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando.

• Para multiplicar radicales con el mismo índice, se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice.
• Para dividir radicales con el mismo índice, se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.

Radicales de Distinto Índice

Primero se reducen a índice común y luego se multiplican.

Racionalización

La racionalización es el proceso de eliminar los radicales del denominador de una fracción. Se presentan los siguientes casos:

Racionalización del tipo 1

Se multiplica el numerador y el denominador por el radical del denominador.

Racionalización del tipo 2

Se multiplica numerador y denominador por el factor necesario para completar la potencia del radicando.

Racionalización del tipo 3

Se aplica cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical. En este caso, se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.

El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado. También tenemos que tener en cuenta que: "suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados".