Propiedades de planos y cuerpos geométricos

Primeras propiedades del plano

1. Recta + de un punto en común con el plano, está contenida en el.

2. 3pts no alineados, único plano que los contiene.

3. Dos planos sin ningún pto en común son paralelos.

4. Si dos planos distintos se cortan su intersección es una recta.

Posición relativa de dos rectas en el espacio

Que se cruzan: si no existe ningún plano que las contenga.

Paralelas: si estando en el mismo plano no tienen ningún pto en común o los tienen todos (coincidentes).

Secantes: si estando en el mismo plano se cortan en un pto.

Posición relativa de recta y plano

Paralelos: La recta y el plano no tienen ningún pto en común, la recta es paralela al plano.

Secantes: La recta tiene un pto en común con el plano, la recta corta al plano.

Incidentes: cuando + de un pto está contenido en el plano.

Formas de determinar un plano

1. 3pts no alineados, no situados sobre la misma recta. Un solo plano contiene a los 3pts.

2. Dos rectas paralelas determinan un plano, un único plano contiene a las dos rectas.

3. Dos rectas que se cortan determinan un plano, basta considerar al plano que contiene el pto P, de intersección de las dos rectas y a otros dos pts Q y R que pertenecen a cada una de las rectas.

4. Una recta y un punto exterior a ella.

¿Puede estar una recta contenida en un plano?

Sí si la recta tiene mas de un punto en común con el plano.

¿Puede una recta cortar un plano?

Sí si la recta tiene un pto en común con el plano lo corta ya que la posición relativa de la recta y el plano es que son secantes.

¿Cuántas caras puede tener un ángulo poliedro?

Depende del nº de caras que concurran en un vértice, puede ser tetraedro, pentaedro, hexaedro o heptaedro según tenga 4,5,6 o 7 caras. Con 3 caras formo un ángulo triedro, es decir, una esquina, necesito mínimo 4 caras.

¿Cuál es el ángulo complementario de un diedro?

Se llama ángulo diedro a la región del espacio comprendida entre dos semiplanos limitados por la misma recta, el ángulo asociado a un diedro es un ángulo plano formado por dos rectas perpendiculares a la arista del diedro en un mismo putno y trazadas en una cara del diedro.

Condiciones para poliedro recto

Bases perpendiculares.

Condiciones para poliedro regular

Todas sus caras polígonos regulares idénticos y en cada uno de sus vértices concurre el mismo nº de caras.

Clasificación poliedros regulares

Solo existen 5; Tetraedro(4)Cubo(6)Octaedro(8)Dodecaedro(12)Icosaedro(20)

¿Se puede formar un poliedro regular con 5 pentágonos?

No podemos porque los ángulos de las caras que lo concurren en un vértice tienen que sumar -360º (n-2)·180º=5·2·180=540º, 540º/5= 108º cada ángulo.

Prisma recto

Caras laterales perpendiculares a las bases

Prisma oblicuo

Caras laterales no perpendiculares a las bases.

Dos pirámides, una oblicua y otra recta tienen el mismo volumen, demuéstralo

Según el principio de cavalieri, si al cortar dos o más cuerpos geométricos de igual altura por un plano paralelo cualquiera a sus bases se producen secciones con la misma área, entonces dichos cuerpos tienen el mismo volumen.

Cuerpos de revolución

Girar figura plana sobre un eje: cilindro rectangulo, cono triangulo rectangulo, esfera semicirculo sobre su diametro.

Volumen de la esfera

Para el volumen de la esfera no sirve el principio de Cavalieri, una esfera se puede descomponer en pirámides iguales cuyos vértices concurren en el centro. La suma de las áreas de todas las bases se aproxima cada vez más al área de la esfera. La altura de cada pirámide se aproxima al radio de la esfera por lo tanto la suma de los volumenes de todas las piramides se acerca al volumen de la esfera: Vesf=Sumatorio Vpir, Vesf= 1/3 AB·h+1/3AB·h... Vesf=1/3·(AB1+AB2+AB3...)·h Vesf=1/3·Aesf·h Por otra parte hemos observado que Aesf=4piR3 comparando las dos expresiones, se obtiene el volumen de la esfera= 1/3·Aesfera·h Vesf=1/3·4piR2·R= 4/3piR3