Proporcionalidad de segmentos y semejanza de triángulos

Proporcionalidad de segmentos

(AB) y (A´B´) se define la razón de dichos segmentos como el número k por el que hay que multiplicar la longitud del segundo segmento para que nos de la del primero: AB/a´B´=k. Los segmentos AB, CD, EF,… son proporcionales a sus primas, si:

• cada uno de los primeros tiene su correspondiente a los segundos
• las razones entre los segmentos correspondientes son iguales.

Teorema: si varias paralelas son cortadas por dos secantes, a segmentos iguales entre sí de una de estas corresponden segmentos iguales entre sí de la otra.

Teorema de Thales

Si 3 o más paralelas son cortadas por dos secantes m y m´, los segmentos determinados por los puntos de intersección sobre una de ellas son proporcionales a los determinados por los puntos correspondientes en la otra. A´B´/AB=k ; B´C´/BC=k…

a) la razón entre dos segmentos de m es igual a la razón entre los segmentos correspondientes en m´ A´B´/AB=B´C´/BC

b) toda paralela a un lado de un triángulo determina sobre los toros dos o sus prolongaciones segmentos proporcionales AB/AD=AC/AE…

Aplicación: se desea dividir (AB) en 5 partes. Para ello se traza una semirrecta cualquiera de origen A. Sobre ella se trazan 5 segmentos consecutivos iguales (longitud arbitraria). Sea m el extremo. Une M con B y se trazan paralelas al segmento (MB) por cada punto de división del segmento (AM).

Semejanza de triángulos

Dos triángulos T y T´son semejantes si es posible establecer una correspondencia entre sus vértices de manera que:

• los ángulos correspondientes sean congruentes (son iguales)
• los lados correspondientes sean proporcionales (pero no iguales)

Criterios de semejanza:

LAL: si 1 ángulo es igual y los lados que lo forman son proporcionales.
AA: si tienen dos ángulos iguales.
LLL: si tienen 3 lados correspondientes proporcionales.
Recíproco: si una recta corta a dos lados de un triángulo determinando segmentos proporcionales a ellos, es paralela al tercer lado.

Observación: dos triángulos están en posición de Thales si tienen un vértice común, el ángulo en dicho vértice congruente y los lados opuestos a este vértice paralelos.

Polígonos semejantes

Dos polígonos P y P´son semejantes si existe una correspondencia entre sus vértices de manera que los ángulos correspondientes sean congruentes y los lados correspondientes sean proporcionales.