Proyecciones Geométricas en Cartografía: Oblicua, Polar y Ecuatorial
Proyecciones geométricas: escenografía oblicua, polar y ecuatorial
1. Proyección ortográfica
1.1 Demostración general (escenografía oblicua)
Para determinar x e y, en el punto A se utiliza el triángulo esférico (dibujo 1). Las expresiones que utilizamos son:
- Teorema del coseno.
- Teorema del seno.
- Teorema del seno-coseno.
Sustituyendo:
(1) cos Θ = cos(90 − φ)·cos(90 − φ₀) + sen(90 − φ)·sen(90 − φ₀)·cos A → cos Θ = sen φ · sen φ₀ + cos φ · cos φ₀ · cos A.
(2) sen Θ = sen(360° − z) = sen A · sen(90 − φ) → sen Θ · sen z = sen A · cos φ.
(3) sen Θ · cos(360° − z) = cos(90 − φ)·sen(90 − φ₀) − sen(90 − φ)·cos(90 − φ₀)·cos A → sen Θ · cos z = sen φ · cos φ₀ − cos φ · sen φ₀ · cos A.
Dibujamos el punto A en el plano (dibujo 2), donde:
x = GA′ · sen z ; y = GA′ · cos z.
1.2 Determinación de la distancia GA′
Utilizamos el triángulo VGA′ y VqA (dibujo 3):
Vq / GA′ = Vq / gA → (D + R) / GA′ = (D + R·cos α) / (R + sen α)
→ GA′ = ((D + R)·sen α) / ((D/R) + cos α).
1.3 Sustitución de GA′ en x e y
x = ((D + R·sen α · sen z) / ((D/R) + cos α)) ; y = ((D + R·sen α · cos z) / ((D/R) + cos α))
Sustituyendo los desarrollos trigonométricos:
x = ((D + R)·sen α · cos φ) / ((D/R) + sen φ · sen φ₀ + cos φ · cos φ₀ · cos α)
y = ((D + R)·sen φ · sen φ₀ − cos φ · sen φ₀ · cos α) / ((D/R) + sen φ · sen φ₀ + cos φ · cos φ₀ · cos α)
Estas son las expresiones generales.
2. Casos particulares de la proyección ortográfica
2.1 Oblicua
Plano proyector tangente a la superficie en Θ(φ₀, λ₀). El vértice se sitúa sobre el eje de proyección, el meridiano central es recto. No es conforme ni equivalente. El centro de proyección no presenta deformación.
2.2 Polar (φ₀ = 90°)
Con sen φ₀ = 1 y cos φ₀ = 0:
x = (D + R·cos φ · sen α) / ((D/R) + sen φ)
y = ((D + R)·(−cos φ · cos α)) / ((D/R) + sen φ)
Los meridianos son rectos; para circunferencias concéntricas no es conforme ni equivalente. El centro de proyección no presenta deformación.
2.3 Meridiano o ecuador (φ₀ = 0)
Con sen φ₀ = 0 y cos φ₀ = 1:
x = (D + R·cos φ · sen α) / ((D/R) + cos φ · cos α)
y = (D + R·sen φ₀) / ((D/R) + cos φ · cos α)
El meridiano central y el ecuador son rectos; no es conforme ni equivalente y no presenta deformación en el centro de proyección.
3. Proyección estereográfica
3.1 Oblicua (D = R)
x = (2R · sen α · cos φ) / (1 + sen φ · sen φ₀ + cos φ · cos φ₀ · cos α)
y = (2R · sen φ · cos φ₀ − cos φ · sen φ₀ · cos α) / (1 + sen φ · sen φ₀ + cos φ · cos φ₀ · cos α)
Es conforme; el centro de proyección no presenta deformación; el meridiano central se determina para rectas; los paralelos son arcos de circunferencia; no se representa el punto opuesto al centro de proyección.
3.2 Polar (D = R, φ₀ = 90°)
x = (2R · cos φ · sen α) / (1 + sen φ)
y = (−2R · cos φ · cos α) / (1 + sen φ)
Ecuación de los meridianos: y = (−1 / tg α) · x.
Ecuación de los paralelos: x² + y² = (r · R² · cos² φ) / (1 + sen φ)².
Estudio de la deformación (condición de conformidad)
f(φ) = ∂x/∂φ = (−2R · sen α) / (1 + sen φ)
f(α) = ∂y/∂α = (2R · cos α) / (1 + sen φ)
g(φ) = ∂y/∂φ = (2R · cos α) / (1 + sen φ)
g(α) = ∂y/∂α = (2R · cos φ · sen α) / (1 + sen φ)
E′ = f(φ)² + f(α)² = 4R² / (1 + sen φ)²
F′ = f(φ)·f(α) + g(φ)·g(α) = 0
G′ = g(φ)² + g(α)² = (4R² · cos² φ) / (1 + sen φ)²
Los meridianos son rectas; para circunferencias concéntricas es conforme; no presenta deformación en el centro de proyección; la deformación aumenta cerca del polo.
3.3 Ecuatorial (D = R, φ = 0)
x = (2R · cos φ · sen α) / (1 + cos φ · cos α)
y = (2R · sen φ) / (1 + cos φ · cos α)
Es conforme; en el centro de proyección no presenta deformación; el meridiano central y el ecuador son rectas; los meridianos y paralelos restantes son arcos de circunferencia.
4. Proyección gnomónica (o central)
4.1 Oblicua (D = 0)
x = (R · sen α · cos φ) / (sen φ · sen φ₀ + cos φ · cos φ₀ · cos α)
y = (R · (sen φ · cos φ₀ − cos φ · sen φ₀ · cos α)) / (sen φ · sen φ₀ + cos φ · cos φ₀ · cos α)
No es conforme ni equivalente; no presenta deformación en el centro de proyección y aumenta al alejarse de él. Los meridianos son rectas que concurren en un punto; el ecuador es recto y los paralelos son:
- Parábola si φ = 90° − φ₀
- Elipse si φ > 90° − φ₀
- Hipérbola si φ < 90° − φ₀
4.2 Polar (φ₀ = 90°, D = 0)
Partiendo de la oblicua:
x = (R · sen α · cos φ) / sen φ = R · sen α · cot φ
y = (−R · cos φ · cos α) / sen φ = −R · cos α · cot φ
Ecuación de los meridianos: y = x / (tg α · x), es decir, rectas que pasan por el punto de tangencia.
Ecuación de los paralelos: x² + y² = R² · cot² φ.
No es conforme ni equivalente; no presenta deformación en el centro de proyección si se aleja de él. Los meridianos son rectas y los paralelos son circunferencias de separación que aumentan al separarse del centro.
4.3 Meridiana o ecuatorial
(Contenido incompleto en el documento original.)