Resolución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias: Métodos y Técnicas Numéricas

Resolución de EDO sin el uso de la computadora

Sin una computadora, las EDO podrían resolverse usando técnicas de integración analítica. Una solución analítica para una EDO se obtiene si la integral indefinida puede evaluarse en forma exacta como una ecuación. Si es una ecuación lineal, puede resolverse analíticamente; en cambio, la mayoría de las ecuaciones no lineales no pueden resolverse de manera exacta, por ello se linealizan primero, aunque no a todas se les puede aplicar dicho método.

Clasificación de métodos numéricos

• Métodos de un paso: Permiten el cálculo de y_i+1 dada la ecuación diferencial y y_i, de la manera como se estima la pendiente.
• Métodos de pasos múltiples: Requieren valores adicionales de y, además de los de y_i+1; es decir, requieren información de los pasos anteriores para obtener una mayor efectividad de la trayectoria.

Consideraciones sobre el error y la estabilidad

Análisis del error para el método de Euler

• Errores de truncamiento: Son originados por la naturaleza de las técnicas empleadas para aproximar los valores de y.
• Errores de redondeo: Causados por el número limitado de cifras significativas que una computadora puede retener.

Rigidez

Se define como aquel sistema que tiene componentes que cambian rápidamente, junto con un componente de cambio lento.

Métodos avanzados de Runge-Kutta (RK)

Métodos adaptativos de RK

Son algoritmos que ajustan automáticamente el tamaño de paso y pueden evitar el desperdicio de recursos, logrando así una gran ventaja, porque se adaptan a la trayectoria de la función; se dice que tienen control adaptativo del tamaño de paso.

Método adaptativo de RK-Fehlberg

Es un método efectivo para ahorrar una gran cantidad de cálculo. En él se emplea el método de RK de 5to orden que utiliza las evaluaciones de la función de RK de cuarto orden correspondiente; así, el procedimiento genera la estimación del error con solo seis evaluaciones de la función.

Método de Heun sin autoinicio

Emplea una fórmula de integración abierta (método del punto medio) para realizar una estimación inicial. Este paso predictor requiere un punto previo; después, se aplica de manera iterativa una fórmula de integración cerrada para mejorar la solución.