Relación empírica entre las medidas de dispersión

Covarianza entre las variables X e Y es la media aritmética de los Productos (xi-????̅) por (yj-????̅) correspondientes a cada uno de los n elementos que componen La muestra. La denotaremos por sxy. El inconveniente de la covarianza como medida de asociación es su dependencia de las unidades de medida de las Variables. En consecuencia, para construir una medida adimensional, tendremos Que dividir la covarianza por un término con sus mismas dimensiones. Además, Con ello conseguimos una medida de la relación lineal entre las dos variables, Llamado coeficiente de correlación lineal de Pearson. Definición: El Coeficiente de correlación lineal de Pearson, que denotaremos por r, es el Cociente entre la covarianza de las variables sxy y el producto de las dos Desviaciones típicas sx y sy. Propiedades: 1.- Es una medida adimensional 2. Es un nº comprendido entre -1 y 1. 3.- Si R=1, existe dependencia lineal perfecta y positiva entre las variables X e Y, (si X crece o decrece, Y crece o decrece) entre X e Y. Los puntos del diagrama De dispersión o nube de puntos están sobre una línea recta ascendente. 4.-Si R=-1, existe dependencia lineal perfecta negativa entre las variables X e Y, (si X crece o decrece, Y decrece o crece) entre X e Y. Los puntos del diagrama De dispersión o nube de puntos están sobre una línea recta descendente. 5.-Si R=0, no existe dependencia lineal entre X e Y. Los puntos del diagrama de Dispersión o nube de puntos están muy lejos de parecerse a un línea recta. Dependencia lineal. Rectas de Regresión. Dada una variable estadística bidimensional (X, Y), su Representación gráfica es una nube de puntos y el problema que planteamos es Ajustar alguna curva a dichos datos. Nos centraremos en el estudio de Relaciones lineales entre las variables, que vendrán dadas por la ecuación de Una recta y =ax + b (ó x= cy + d). Los Objetivos serían: 1. Obtener las constantes a y b de la recta, y por tanto La ecuación de dicha recta según algún criterio de interés. 2. Obtener medidas Que nos indiquen si dicho ajuste es bueno. 3 3. Si el ajuste es bueno, podremos Predecir los valores de la variable independiente y a partir de los valores de La variable dependiente x, dentro de su campo de definición. 4. Controlar el Error máximo que se comente con dicho ajuste. La determinación de los Coeficientes a y b en la primera recta (c y d en la segunda), se obtienen Aplicando el método de mínimos cuadrados, que significa que la suma de los Cuadrados de las distancias de los puntos que representa la muestra de tamaño n A la recta es mínima. A dichas rectas les llamaremos recta de regresión de Y Sobre X (recta de regresión de X sobre Y). Al cociente ???????????? ???????? 2 se le llama coeficiente de regresión de Y sobre X. Y coincide con la Pendiente de la recta. Representa la variación de la variable Y cuando la Variable X aumenta en una unidad. Como ???????? 2 es siempre Positivo, el signo de los coeficientes de regresión depende del signo que tenga La covarianza ????????????. A) Si la covarianza es positiva el coeficiente de regresión o pendiente de la Recta es positivo y la recta es creciente. B) Si la covarianza es negativa la Pendiente es negativa y la recta es decreciente. 4 c) Si la covarianza es nula Los coeficientes de regresión son nulos, ambas rectas son paralelas a los ejes De coordenadas, la de “Y” sobre “X” paralela al eje OX, y la de “X” sobre “Y” Paralela al eje OY.