Resistencia de Materiales: Tracción, Torsión, Flexión, Pandeo y Teoremas Energéticos

Tracción y Compresión

Tensión normal: σ = N/A = E·ε

Alargamiento: Δl = ∫(L→0) N/(EA) dx

Du/dx = N/(EA)

Energía de deformación: U = ∫(L→0) N²/(2EA) dx

Torsión

Momento torsor: M_T

Tensión tangencial: τ = M_T·r / I₀

Ángulo de torsión por unidad de longitud: dθ/dx = M_T / (G·I₀)

τ = G·dθ/dx·ρ = M_T·ρ / I₀

Momento polar de inercia (sección circular): I₀ = πR⁴/2

Energía de deformación: U = ∫(L→0) M_T² / (2G·I₀) dx

Flexión

Momento flector: M_z

Tensión normal de flexión: σ = -M_z·y / I_z

Ley de Navier: σ = -E·y/ρ

Tensión máxima: σ_máx = M_z / W_z

Curvatura: 1/ρ = φ / l₀ = M_z / (E·I_z)

Energía de deformación: U = ∫(L→0) M_z(x)² / (2E·I_z(x)) dx

Cortante en flexión

Esfuerzo cortante: T

τ = T·M_z / (b·I_z)

Flexo-tracción / flexo-compresión

σ_x = N/A - M_z·y / I_z

Desplazamientos: u → N (se desplaza axialmente); v → M_z

Energía: U → M_z

Condición de diseño: σ_adm ≥ |N|_máx/A + |M_z|_máx/W_z

Pandeo

Pandeo es la pérdida de estabilidad de elementos esbeltos sometidos a compresión.

Longitudes equivalentes según condición de apoyo:

• Empotrada–libre: 2L
• Biapoyada: L
• Biempotrada: 0,5L
• Empotrada–apoyada: 0,7L

Carga crítica de Euler: P_crit = π²·E·I / l_p²

σ_crit = P_crit/A = π²·E / (l_p²/i²) = π²·E / λ² ≤ σ_e

Esbeltez límite: λ_e = π·√(E/σ_e)

Fórmula de Euler: aplicable si λ > λ_e

Radio de giro: i = √(I/A)

Esbeltez: λ = l_p / i

Carga admisible a pandeo: P_adm = P_{crit, Euler} / n

Estabilidad: E, λ_b, l_p, L, i, I, γ, P_crit, restricciones.

Ecuación Diferencial de la Elástica

EI·y(x) = EI·y₀ + EI·θ₀·x + m_i⟨x - x_a⟩²/2! + P_i⟨x - x_b⟩³/3! + q_i[⟨x - x_c⟩⁴ - ⟨x - x_d⟩⁴]/4!

Hipótesis: E, I constantes; v'' y v' pequeñas; sin rótulas.

y''/(1 + y'²)^(3/2) = 1/ρ = M_F(x) / (E·I)

Teoremas Energéticos

Carga unitaria

v(x) = ∫(L→0) M_z(x)·M_z1(x) / (E·I_z(x)) dx

M₁: ley de momentos flectores en el sistema virtual; M₀: momento original.

∂U/∂φ |_φ=0 = δ = ∫ M₀·M₁ / (E·I_z) dx

Teorema de Castigliano

δ₁^F,Q = ∂W/∂F

Solo F₂: W = ½·F₂·δ₂^F2

F₂ y F₁:

W_2-1 = ½·F₂·δ₂^F2 + ½·F₁·δ₁^F1 + F₂·δ₂^F1

W_1-2 = ½·F₁·δ₁^F1 + ½·F₂·δ₂^F2 + F₁·δ₁^F2

Con carga distribuida q(x):

W = ½(F₂·δ₂^F2 + F₁·δ₁^F1) + F₂·δ₂^F1 + ½∫q(x)·δ^q(x) dx + F₁·δ₁^q + F₂·δ₂^q

W = ½Σ(F_i·u_i) = ½∫f_s·u ds + ½∫f_v·u dv

Teorema de Maxwell–Betti

F·δ₁^Q = Q·δ₂^F

Leyes Constitutivas

Ley de Hooke: σ_x = E·ε_x

• Módulo de Young E [MPa], E > 0: material rígido y resistente.
• Coeficiente de Poisson ν > 0: ε_y = ε_z = -ν·ε_x = -ν·σ_x/E

Ensayo de tracción

ε_x = Δl_x / l_0x > 0; ε_y, ε_z < 0; γ_xy = γ_xz = γ_yz = 0

Ensayo de cortante

ε_x = 0; ε_y ≈ 0; ε_z = 0; γ_xz = γ_yz = 0; γ_xy > 0

τ_xy = τ_yx = G·γ_xy, con G > 0 (módulo de elasticidad transversal)

Leyes de Hooke generalizadas

ε_x = (1/E)[σ_x - ν(σ_y + σ_z)]

γ_xy = τ_xy / G

G = E / [2(1 + ν)]

Flexión Oblicua

M_F = M_y·j + M_z·i

σ_My = M_y·z / I_y

σ_Mz = -M_z·y / I_z

Eje neutro: M_y·z / I_y - M_z·y / I_z = 0

y = (M_y·I_z·z) / (M_z·I_y)

Eje principal

Aquel respecto al cual el momento de inercia es máximo o mínimo relativo.

Eje neutro

Lugar geométrico de los puntos de la sección donde la tensión es nula.

σ = N/A + (M_y/I_y)z - (M_z/I_z)y = 1 + (M_y/N)/(I_y/A)·z - (M_z/N)/(I_z/A)·y = 1 + (ξ/i_y²)·z + (η/i_z²)·y

i_y = √(I_y/A)

Centro de presión

Punto del plano de la sección donde, dando lugar a una tensión reducida a normal, se produce la carga.

Núcleo central

Lugar geométrico del plano yz de los centros de presión para los cuales el eje neutro no corta a la sección.