Resolución de Integrales: Ejercicios Resueltos Paso a Paso

Ejercicios de Cálculo Integral Resueltos

Ejercicio 3

∫ (x-2) dx / (x²-4x+3)³

• u = x²-4x+3
• du = (2x-4) dx = 2(x-2) dx
• du/2 = (x-2) dx

∫ u⁻³ (du/2) = 1/2 ∫ u⁻³ du = 1/2 (u⁻² / -2) + C = -1 / [4(x²-4x+3)²] + C

Ejercicio 4

∫ x³ dx / (x²+4)⁴ = ∫ x² · x (x²+4)⁻⁴ dx

• u = x²+4 → du = 2x dx → du/2 = x dx
• x² = u-4

∫ (u-4) u⁻⁴ (du/2) = 1/2 ∫ (u⁻³ - 4u⁻⁴) du = 1/2 [u⁻²/-2 - 4(u⁻³/-3)] + C = -1/[4(x²+4)²] + 2/[3(x²+4)³] + C

Ejercicio 5

∫ (tan²x + cot²x + 4) dx = ∫ tan²x dx + ∫ cot²x dx + ∫ 4 dx

Utilizando identidades: ∫ (sec²x - 1) dx + ∫ (csc²x - 1) dx + ∫ 4 dx

Resultado: tan x - cot x + 2x + C

Ejercicio 2

∫ (2cot x - 3sen²x) / sen x dx = 2 ∫ (cot x / sen x) dx - 3 ∫ (sen²x / sen x) dx

2 ∫ cot x csc x dx - 3 ∫ sen x dx = -2 csc x + 3 cos x + C

Ejercicio 6 (Integral Definida)

∫₀³ (4x² - 2x + 5) dx = [4x³/3 - x² + 5x]₀³

= [4(27)/3 - (9) + 5(3)] - [0] = 36 - 9 + 15 = 42

Ejercicios 8 y 9

• 8# ∫ x sec²x dx (Requiere integración por partes)
• 9# ∫ x sen x dx (Requiere integración por partes)

Ejercicio 7

∫ (y+3) dy / (3-y)²/³

Sea u = 3-y, du = -dy, y = 3-u

-∫ u⁻²/³ (3-u+3) du = -∫ u⁻²/³ (6-u) du = -∫ (6u⁻²/³ - u¹/³) du

= -18(3-y)¹/³ + 3(3-y)⁴/³/4 + C

Ejercicio 10

∫ ln²(3x) / x dx

u = ln(3x), du = 1/x dx

∫ u² du = ln³(3x) / 3 + C

Ejercicio 11

∫ e²ˣ / (eˣ + 3) dx

u = eˣ + 3, du = eˣ dx, eˣ = u-3

∫ (u-3)/u du = ∫ (1 - 3/u) du = (eˣ + 3) - 3 ln(eˣ + 3) + C

Ejercicio 12

∫ x e⁴ˣ dx (Requiere integración por partes)

Ejercicio 13

∫ x² / (x³ + 4) dx

u = x³ + 4, du = 3x² dx

1/3 ∫ du/u = 1/3 ln(x³ + 4) + C

Ejercicio 16

∫ sen x ln(cos x) dx (Requiere integración por partes)