Resolución de Problemas de Física: Electromagnetismo y Gravitación Universal

1. Teorema de Gauss

Enunciado: La ley de Gauss relaciona el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada y la carga eléctrica encerrada en esta superficie, de tal manera que la suma de todo el flujo eléctrico es igual a una constante.

La expresión matemática es: ∫ E·dS = Q/ε₀

Desarrollo:

• ∫ E·dS = ∫ E·dS cos 0 = E∫ dS = E·4·π·r² = Q/ε₀
• E = Q / (ε₀·4·π·r²) = kQ/r²

2. Dinámica de un Satélite Artificial (200 kg)

a) Cálculo de la velocidad orbital

Por la ley de gravitación universal sabemos que: F_G = -G·M_T·m/r²

De la definición de campo gravitatorio: g = F_G/m = -G·M_T/r²

Por tanto: g_h = -G·M_T/(R_T+h)² y g₀ = -G·M_T/R_T²

Como g₀ = 2g_h, tenemos que (R_T+h)/R_T = √2.

Al igualar las fuerzas gravitatoria y centrípeta:

F = -mv²/(R_T+h) = -G·M_T·m/(R_T+h)²

v² = G·M_T/(R_T+h) = (G·M_T·R_T²)/(R_T²·(R_T+h)) = (g₀·R_T²)/(R_T·√2) = g₀·R_T/√2

Donde v ≈ 6.6 x 10³ m/s.

b) Energía mecánica

La energía mecánica se calcula mediante la fórmula: E_m = -1/2 · G·M·m/r

E_m = -1/2 · (6.67·10⁻¹¹) · (5.98·10²⁴) · 200 / 9008540.392 = -4.4·10⁹ J

3. Carga Puntual y Potencial Eléctrico

Una carga puntual de valor Q ocupa la posición (0,0). Una carga eléctrica crea a su alrededor un potencial V y un campo de intensidad E:

• V = k·Q/r → -120 = (9·10⁹)·Q / x
• E = k·Q/r² → -80 = (9·10⁹)·Q / x²

Resolviendo el sistema:

x = 120/80 = 1.5 m

Q = -120 · 1.5 / (9·10⁹) = -2·10⁻⁸ C

El trabajo para trasladar una carga de un punto a otro es: W = q(V_B - V_A)

V_B = k·Q/r = (9·10⁹) · (-2·10⁻⁸) / (2²+2²)^1/2 = -63.64 V

W = -16·10⁻¹⁹ · (-63.64 - (-120)) = -902·10⁻¹⁸ Julios

4. Conservación de la Energía Mecánica en un Satélite

a) Cálculo de velocidad a 300 km

Aplicando el principio de conservación de la energía mecánica, suponiendo que el satélite alcanza una altura h = 300 km con velocidad = 0:

R_T + h = (6370 + 300) km = 6.67·10⁶ m

E_po + E_co = E_ph + E_ch → E_co = E_ph - E_po

v² = 2E_co/m = 2370 m/s

b) Energía potencial a la altura de la órbita

E_ph = -G·M_T·m / (R_T+h) = -5.98·10⁹ Julios

c) Energía adicional

La energía adicional será la cinética necesaria para que el satélite se mantenga en una órbita circular de altura h = 300 km:

E_m = E_ch + E_ph