Resolución de Problemas Matemáticos: Geometría, Álgebra y Estadística Aplicada

1. Cálculo de Volumen en Cuerpos Geométricos

Para un contenedor cilíndrico de $8\text{ cm}$ de radio:

$$V = \pi \cdot r^2 \cdot h$$

$$V = \pi \cdot (8\text{ cm})^2 \cdot (12)$$

$$V = \dots \dots \dots \dots$$

$$V = \pi \times \dots$$

$$V = 2412,743\text{ cm}^3$$

a) Hallar el volumen de la esfera

$$V = \frac{4}{3} \pi r^3$$

$$V = \frac{4}{3} \pi (2,9\text{ cm})^3$$

$$V_e = \frac{4}{3} \pi (24,389)\text{ cm}^3$$

$$V_e = \frac{306,481212}{3}$$

$V_e = 102,16\text{ cm}^3$

Para el volumen total ($V_t$):

$$V_t = V + V_e$$

$$V_t = 2412,743 + 102,16$$

$V_t = 2514,903\text{ cm}^3$

Para hallar la altura ($H$) a partir del volumen total:

$$V_T = \pi r^2 \cdot H \implies H = \frac{V_t}{\pi r^2}$$

$$h = \frac{2514,903\text{ cm}^3}{\pi (8\text{ cm})^2}$$

$h = 12,51\text{ cm}$

2. Funciones Cuadráticas

La ecuación de cada una de esas funciones cuadráticas presenta los siguientes valores:

1 = 2; 2 = 0; 3 = 0; 4 = 5; 5 = 0; 6 = 3.

3. Problema de Ahorro (Jhosani)

Jhosani está ahorrando dinero para un objetivo específico:

$$P = 8500(0,95)$$

a) La función de ahorro es: $$s = 400t + 2000$$

Para $t = 1$:

$$s = 400(1) + 2000$$

$$s = 400 + 2000$$

$s = 2400$

4. Operaciones con Notación Científica

Se otorgará la máxima puntuación a las respuestas correctas y bien justificadas.

a) Calcule $\sqrt[3]{p/q}$

$$\sqrt[3]{\frac{2,78 \times 10^{11}}{3,12 \times 10^{-3}}}$$

$$\sqrt[3]{\left(\frac{2,78}{3,12}\right) \times 10^{11+3}}$$

$$\sqrt[3]{\left(\frac{2,78}{3,12}\right) \times 10^{14}}$$

$= 96226,9595$

b) Resultados aproximados:

• (i) $96226,95$
• (ii) $9,62 \times 10^4$

c) Valor final: $9,62 \times 10^4$

5. Geometría de una Lámpara Cónica

La pantalla de una lámpara tiene forma de cono:

a) $$\cos(c) = \frac{20\text{ cm}}{Q}$$

$$Q = \frac{20\text{ cm}}{\cos(60^\circ)}$$

$Q = 40\text{ cm}$

b) Longitud de la circunferencia ($L_c$):

$$L_c = 2\pi r = D \cdot \pi$$

$$L_c = 40\text{ cm} \cdot \pi$$

$$L_c = 125,663706 \approx 125,7$$

Longitud total ($L_t$):

$$L_t = L_c + 40\text{ cm}$$

$$L_t = 125,7 + 40\text{ cm}$$

$L_t = 165,7\text{ cm}$

6. Progresión Geométrica

Considere la siguiente progresión geométrica:

a) Hallar la razón ($r$):

$$r = \frac{u_2}{u_1} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$$

c) Término general ($U_n$):

$$U_n = u_1 \cdot r^{n-1}$$

$$10^{-3} = 18 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$$

$$\frac{0,001 \cdot 2}{18} = 1^{n-1} \dots$$

(Nota: El procedimiento sugiere una resolución logarítmica o de potencias)

$$n = -3$$

7. Estadística: Masa de una Mazorca

La masa de un determinado tipo de mazorca sigue una distribución normal:

a) Promedio ($\bar{x}$) = $400\text{ g}$

Desviación estándar ($S_n$) = $50\text{ g}$

Cálculo de puntuación Z:

$$Z = \frac{x - \mu}{\sigma} = \frac{400 - 400}{50}$$

$z = 0$

8. Sucesiones con Palillos

Tomás está jugando con unos palos y con ellos forma figuras:

a) $$S_2 = 4 + (n-1)3$$

$$S_2 - 4 = 3n - 3$$

$$S_2 - 4 + 3 = 3n$$

$$\frac{S_1}{3} = n \implies n = 17$$

b) Cálculo del término $U_n$ para $n=24$:

$$U_n = 4 + (24-1)3$$

$$U_n = 4 + (23)3 = 4 + 69$$

$U_n = 73$

9. Gráfico de Funciones

La siguiente figura muestra una parte del gráfico de la función $y = f(x)$:

a) Si $f(x) = y$, entonces para $x = 1$:

$f(1) = 3$

10. Cambio de Divisas: Buenos Aires a Barcelona

Claudia viaja de Buenos Aires a Barcelona:

a) Cambio de $8000\text{ ARS}$:

$1\text{ ARS} = 0,09819\text{ EUR}$

Comisión del banco = $2\%$

$$785,52\text{ EUR} \times 2\% = 15,7104$$

$$785,5200 - 15,7104 = 769,8096$$

b) Para $85\text{ EUR}$ con tasa $1\text{ ARS} = 0,08753\text{ EUR}$:

Comisión del banco = $r\%$

$$85\text{ EUR} \times \frac{r}{100} = 14,57$$

$$r = \frac{14,57 \times 100}{85}$$

$r = 17,14\%$

11. Problema de Álgebra: Campamento de Verano

En un campamento de verano, se distribuyen actividades:

a) $f(x) = x$

b) Relación: $2x - 15 - 1x$ (bombas)

c) Ecuación total:

$$2x + 15 + x = 120$$

$$3x = 120 - 15$$

$$x = \frac{105}{3} = 35$$

Para $F$: $$2x = 2(35) = 70$$

12. Geometría Analítica: La Recta L

La recta $L$ corta al eje $x$ en un punto determinado:

a) Cálculo de la pendiente ($m$):

$$m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{OB}{OA}$$

Si $OB = 3OA$, entonces:

$$m = \frac{3OA}{OA} = 3$$

Usando puntos $(2,0)$ y $(6,0)$:

$$m = \frac{6-0}{2-0} = 3$$

b) Ecuación de la recta ($y = mx + c$):

$$2 = 3(6) + c$$

$$2 = 18 + c \implies c = -16$$

$y = 3x - 16$

Puntos de corte: Para $y=0$, $x = 16/3$.

13. Probabilidad y Control de Calidad

La marca Home Shine fabrica bombillas. Se sabe que el $7\%$ son defectuosas:

a) Probabilidad base: $7/100$

b) Cálculos específicos:

• (i) $P = 2/93 = 0,021$
• (ii) $P = 1/93 = 0,011$

c) Función asociada: $f(x) = \frac{1}{3}x + a$