Resolución de Problemas Matemáticos: Métodos, Estrategias y Materiales Didácticos para Primaria

Resolución de problemas

Se consideran problemas a una cuestión que debe tener como mínimo: una solución desconocida, interés para ser abordada y esperanza de poder resolverla. El proceso de resolución de problemas es uno de los ejes principales de las matemáticas. Se necesitan y utilizan muchas capacidades básicas (leer comprensivamente, reflexionar, establecer un plan de trabajo, modificar el plan y comprobar la solución) para poder llevarlo a cabo.

Los problemas pueden clasificarse según su tipo de acción en:

• Problemas de búsqueda: se debe encontrar algo desconocido.
• Problemas de demostración: en los que se debe decidir si una afirmación es cierta.

Para la resolución de problemas, Polya propone un modelo basado en cuatro fases: comprender el problema, determinando datos, incógnitas y condiciones que impone; concebir un plan, diseñando estrategias; ejecutar el plan, comprobando cada uno de los pasos y llegando a la solución; y verificar el resultado y comprobar el razonamiento. Dependiendo del autor consultado, tendrán un modelo u otro para resolverlos.

Algunas técnicas usadas como ayuda para la resolución son: construir tablas y buscar patrones, codificar datos del problema, resolver antes un problema análogo más sencillo, hacer un diagrama o dibujo que ilustre el problema, explorar distintos caminos y tener siempre en mente el problema que queremos resolver.

Cómo métodos de trabajo en resolución de problemas, los más usados son:

• Método de análisis y síntesis o reductivo: este método se llama sintético cuando la demostración se realiza mediante una cadena de implicación y equivalencias en la que la hipótesis del problema se encuentra como eje principal y la tesis es lo último. El análisis es el recorrido desde la incógnita hasta el dato, se establecen relaciones y nos proporciona la estrategia del problema.
• Método cartesiano: transformar cualquier problema en un problema matemático de álgebra que pueda ser reducido a la resolución de una sola ecuación.
• Método de superposición: resolver uno o varios casos particulares que resulten sencillos, para después descomponer el caso general en una combinación de los casos particulares resueltos y obtener la solución general.
• Problemas aritméticos: se traslada el enunciado a una expresión aritmética simple, para poder resolver de forma más sencilla aquellos problemas complejos que necesitan dos o más pasos para encontrar la respuesta.

Representan situaciones reales en las que, para conseguir la resolución, se necesitan destrezas matemáticas, conceptos y procedimientos de pensamiento. En la resolución de problemas es importante la representación, la intervención, la búsqueda de soluciones, la toma de decisiones, la memoria y el conocimiento.

Existe gran variedad de estrategias para resolver problemas, una de las más usadas es la estrategia de ensayo-error o «cuenta la vieja», que consiste en realizar particularizaciones del problema general y comprobar si el resultado hallado es o no solución del mismo. Puede ser:

• Ensayo-error fortuito: se realizan pruebas al azar, sin ningún plan prefijado. Método fácil, pero poco potente.
• Ensayo-error sistemático: elección de las particularidades según orden y agotando todos los datos posibles.
• Ensayo-error dirigido: más potente, cada resultado obtenido se contrasta con la pregunta del problema y con resultados obtenidos.

También existe la estrategia caso más favorable: en la que Polya propone las cuatro etapas mencionadas anteriormente para la resolución del problema. Esta estrategia consiste en llevar a cabo el análisis previo de cómo las variables favorecen o no la obtención de la solución. De las etapas para resolver problemas, la imprescindible es la primera, pues si no comprendemos el enunciado, es imposible resolver el problema; la segunda etapa se relaciona con los conocimientos, imaginación y creatividad del alumno; la tercera tiene carácter técnico y la cuarta se suele omitir.

La estrategia partir de la solución se usa cuando conocemos el objetivo final y el problema consiste en determinar la secuencia correcta de operaciones que nos llevará desde el estado inicial al objetivo. El resultado es el punto de partida y vamos hacia atrás. Para resolver problemas con este tipo de estrategia podemos ayudarnos de dibujos o diagramas (relacionar y clasificar), trasladar el problema a uno más sencillo, acotar hipótesis, idear un plan, ejecutarlo y revisarlo.

La estrategia principio de inducción matemática es un método que se usa para demostrar propiedades y fórmulas. Para saber si son ciertas se experimenta e intentamos comprobarlas. Schoenfeld realizó una lista de estrategias más usadas; en su modelo plasma las siguientes fases: análisis del problema, exploración y comprobación de la solución obtenida.

Otra estrategia general utilizada es: análisis del enunciado para comprender el problema y simplificarlo sin perder generalidad; diseño con los objetivos de comprender una visión general del proceso de solución del problema, desarrollar un plan sobre cómo se va a proceder; tener en cuenta problemas equivalentes; realización del plan pensado que debe llevarnos a la solución si lo ponemos en práctica; y verificación de la solución.

Dificultades comunes

Deficiente comprensión lectora, complejidad del texto, representación mental del problema, dificultad de localizar metas a conseguir que faciliten la solución, utilización de un plan adecuado, conocimiento del procedimiento operativo y factores afectivos. También la negativa a aceptar cambiar el plan cuando vemos que no conseguimos llegar a la solución, tendiendo a realizar los problemas por rutina ignorando vías más rápidas.

Los problemas deben tener un nivel de conocimiento adecuado a los alumnos; si fuera al contrario, las capacidades de resolución de problemas no se desarrollarán satisfactoriamente. Si entendemos las matemáticas como forma de pensar (Resnick y Ford), debemos tener en cuenta que su objetivo fundamental en la enseñanza de las matemáticas es…

Material didáctico para la enseñanza en Primaria

Existen materiales didácticos diversos para fomentar el proceso de adquisición del concepto de número que podemos usar como recurso didáctico complementario para una mejor enseñanza y aprendizaje. Algunos de los materiales didácticos son los siguientes:

Regletas Cuisenaire

Números en color creados por Cuisenaire y difundido por Gattegno. Formado por 241 piezas, pequeñas en forma de prisma cuadrangular recto con 1 cm de sección y longitudes que van de 1 a 10 cm; cada longitud presenta un color diferente. Con este recurso, el alumno es protagonista de la actividad. En este tipo de actividades, el alumno se enfrenta a situaciones que le obligan a formar por sí solo estructuras mentales aptas y necesarias para poder adquirir el conocimiento que trabaja. Estas actividades necesitan de la comunicación y discusión en pequeños grupos para poder descubrir entre todos propiedades y relaciones matemáticas, esto se produce mediante observación, análisis y crítica. Hay que «desafiar» al niño para que se pongan en funcionamiento todos sus recursos mentales; así se le enseña a pensar.

Contenidos que se pueden trabajar con las regletas son:

• Atributos y relaciones de objetos y colecciones: atributos y propiedades (color, forma, tamaño, longitud); relaciones de semejanza y diferencia, pertenencia y no pertenencia, equivalencia, orden, presencia y ausencia de una cualidad.
• Cuantificadores: todo, nada, lo mismo, diferente, uno, varios, grande, pequeño.
• Número: unidad, aspectos cardinales del número, serie numérica (primeros números).
• Medida: situaciones en las que se hace necesario medir.

Este recurso permite al alumnado: descubrir y elaborar conceptos a través de la experimentación, adquirir formas de expresión y representación adecuadas, efectuar clasificaciones y seriaciones, desarrollar competencia numérica, descubrir y aplicar principios básicos para contar, reconocer de forma ascendente y descendente números naturales hasta 10, iniciarse en el cálculo y simbolismo numérico, descomposición de números, comprender decena, conocer la serie numérica hasta 100 progresiva y regresiva, iniciarse en suma, resta, multiplicación y división, descubrir relaciones de equivalencia e inclusión, propiedades conmutativa y asociativa de suma y multiplicación, construir y reconocer potencias del cuadrado y cubo, divisibilidad, iniciarse en conceptos de longitud, área, perímetro y volumen, y obtener la noción de número fraccionario.

Con este recurso: se construyen ideas y, con sus propias experiencias, surge el conocimiento matemático. Al manejar el instrumento se estimula el desarrollo de capacidades mentales, se respeta el ritmo de aprendizaje de cada alumno. Se crean situaciones mentales firmes y precisas. Se observa, crea, analiza, reflexiona, critica y dialoga con los compañeros. Favorece la discusión entre ellos y el profesor. El profesor debe hablar lo menos posible, aunque debe formular preguntas para que, con ellas, se descubra el concepto.

Este material se usa a cualquier edad. Con las regletas se inicia las cuatro operaciones aritméticas de forma manipulativa, comprobando propiedades y operaciones aritméticas; se trabaja el concepto doble/mitad, triple/tercio…

Bloques multibase Dienes

Se trata de una serie de piezas de madera en forma de cubos de 1 cm de lado, barras compuestas por varios cubos, placas que son superficies cuadradas compuestas por varias barras y bloques que son cubos de lado 4, 5 o 10. Es un recurso diseñado para que los niños comprendan los sistemas de numeración utilizando un procedimiento manipulativo. Existen para distintas bases; si esta es de 10, la longitud de las barras es 10, las placas 10×10…

Sirven para establecer equivalencias entre unidades, introducir el conocimiento del valor posicional de cifras, introducir suma y resta, adquirir conceptos doble/mitad, e introducción a la multiplicación como suma de sumandos iguales.

Si está en base 10, sirve para comprender la estructura de nuestro sistema de numeración decimal: unidades, decenas, centenas, unidades de mil, de manera que entiendan mejor el paso de un orden a otro. Permite la comprensión de composición y descomposición numérica, la comprensión y ejecución de operaciones matemáticas (adición, sustracción, división, potenciación, radicación), comprender el concepto de número fraccionario y conceptos de tipo geométrico. Estos materiales no se usan para otras cosas en la vida real, ni están ligados a la notación simbólica.

En Primaria, el material en base 10 facilita la consecución de: entender el valor numérico mediante tamaño y peso (cubos, tablas y reglas), relacionar tamaño con valor numérico, comprender el sistema decimal, comprender el algoritmo de la adición con reagrupación, comprender la composición y descomposición numérica, y realizar operaciones con distintas bases. Es habitual encontrar en libros de texto este material para introducir decena, centena, suma y resta sin llevadas.

Se utiliza en 1.º ciclo y poco frecuentemente en superiores. Este material facilita la comprensión y comunicación porque permite realizar descripciones mediante referencias a un soporte físico, lo que facilita la visualización del proceso seguido en la formación de imágenes mentales, favorece la motivación y una actitud positiva hacia las matemáticas.

Ábaco

Significa superficie plana o tabla. Es el instrumento más antiguo utilizado por el hombre para representar números mediante cuentas, piedras… Adecuado para realizar operaciones aritméticas. Formado por un soporte de madera y una serie de varillas metálicas paralelas colocadas de forma vertical u horizontal y ensartadas por bolas. Cada una de las varillas representa un orden de unidades que son el sistema decimal: unidades, decenas, centenas; las bolas de cada varilla suelen ser de distinto color y forma (alumnos invidentes), fácilmente manipulables. Para el sistema decimal, cada varilla lleva 10 bolas.

Sirve para la enseñanza del sistema de numeración y cálculo de operaciones aritméticas con números naturales. Para iniciar y afianzar el cálculo de operaciones con números naturales. El conocimiento matemático pasa por tres fases: manipulativa, gráfica y simbólica. En este material se potencia la primera fase (se comprende el significado en sumas, porque nos llevamos 1…).

Contenidos matemáticos:

• Equivalencia y valor posicional de cifras: realizar cambios usando bolas de diferentes colores.
• Introducción a la suma: se representan unas cantidades en dos ábacos y en otro se agrupan para que el alumno vea y sea consciente de que se han juntado bolas.
• Comparación de números: comprender el valor posicional de cifras y evitar errores de tipo perceptivo.
• Suma con y sin llevadas en ábaco horizontal.
• Resta con y sin llevadas en ábaco horizontal.

Se consigue: comprender cómo se forman las unidades de orden superior, un procedimiento para representar números naturales, el valor relativo de las cifras en función de las posiciones que ocupan, y procedimientos del cálculo aplicándolos de forma razonada y no mecánica.

Esta comprensión posibilita alcanzar: la representación mental de operaciones, facilita el cálculo mental y la realización de forma abstracta de operaciones más complejas. Práctica razonada del cálculo, lo que permitirá un uso racional de la calculadora.

Balanzas numéricas

Balanza con dos brazos de la misma longitud que quedará en equilibrio cuando coloquemos en un brazo las cifras cuya suma sea el número que colocamos en el otro brazo (relación de igualdad). Se divide en dos partes y cada una dispone de pequeños ganchos numerados de 1 a 10 en los que se colocan fichas.

Usado en Primaria: material de base 10, facilita la consecución de objetivos de matemáticas: descomponer números naturales, comparar y ordenar números naturales, comprender distintas operaciones, orden y propiedades. Obtener interpretaciones similares a las conseguidas con regletas mediante distintas longitudes, descomponer factorialmente números naturales, comprender orden, propiedades y diferentes operaciones con los números. Las balanzas son idóneas para sumas, restas y multiplicaciones, aunque pueden realizarse divisiones simples y exactas.

Se pueden explicar propiedades: conmutativa de la suma (a+b=b+a), asociativa de la suma (a+(b+c)=(a+c)+b), conmutativa de la multiplicación (a×b=b×a).

Conviene empezar con algún material como este e ir ampliando su uso progresivamente; ayuda a comprender algunos conceptos y ampliar otros. Lo ideal es conseguir equilibrio entre actividades con materiales didácticos y libro de texto.

Dominós

Rectángulos de plástico, madera o cartón divididos. Son 28 fichas desde 0-0 a 6-6. En la enseñanza-aprendizaje de matemáticas se usan como material didáctico, juegos basados en reglas del dominó en estudio de operaciones algebraicas, fracciones/porcentajes, áreas, ecuaciones de 1.er grado, unidades de volumen y capacidad. En todos estos casos cada ficha consta de dos partes. También se usa como recurso lúdico (ej.: cuatro fichas de dominó elegidas convenientemente pueden colocarse formando un cuadrado con idéntico número de tantos en cada lado: 1-6, 0-5, 1-5, 4-2).

Este recurso contribuye a las competencias: matemática (capacidad para usar y relacionar números, operaciones básicas y formas de expresión y razonamiento matemático), social y ciudadana (comprender la realidad social), aprender a aprender (controlando propias capacidades y conocimientos desde un sentimiento de eficacia personal), y autonomía e iniciativa personal (ser capaz de imaginar, emprender, desarrollar y evaluar acciones, cooperar y trabajar en equipo).

Prueba del 9 y congruencias

Cálculo sencillo que sirve para verificar resultados de operaciones aritméticas, especialmente multiplicaciones y divisiones, fundado en que el resto de dividir un número ×9 es el mismo que el de dividir también ×9 la suma de sus cifras. Esta prueba es la aplicación aritmética modular cuando m=9. La prueba del 9 es posible gracias a las congruencias: dos números a y b son congruentes módulo m si dan el mismo resto al ser divididos por m (a ≡ b mod m). Dos números a y b son congruentes módulo m cuando su diferencia es múltiplo de m. Cada número a es congruente módulo m con el resto r que resulta al dividir a por m. Mediante la regla del 9 se simplifica mucho el trabajo.

Se usa para verificar si una operación aritmética (+, −, ×, ÷) realizada a mano está equivocada. Si el resultado de la prueba es erróneo, se puede asegurar que la operación no es correcta; pero si el resultado de la prueba es correcto, no implica necesariamente que la operación esté bien exacta.

Números romanos

I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500), M (1000). Una misma cifra repetida varias veces suma sus valores, pero no puede repetirse más de tres veces seguidas. Una cifra antepuesta a otra de más valor resta el valor de aquella, y se suma si va pospuesta. Una cifra colocada entre dos mayores le resta su valor de la inmediata a la derecha. Una cifra representa un valor mil veces mayor cuando lleva encima una raya horizontal (000).

Sistema de numeración decimal

Los niños aprenden rápido a contar números grandes repitiendo pautas verbales. Pueden ser capaces de contar hasta 50-60 sin saber cuál es mayor. Puede aprender a contar hasta 1000 aunque no conozca cómo se escribe. En este sistema se realizan agrupaciones sucesivas: las unidades se agrupan de 10 en 10 para formar decenas, cada 10 decenas formarán una centena, y así hasta conseguir agrupación total de objetos. Existen también otro tipo de agrupaciones, como de 3 en 3, de 7 en 7, que corresponden con las bases 3 y 7. Con agrupaciones de 10 en 10 se trabaja el sistema decimal; la lectura y escritura de números es lo siguiente que debemos enseñar. Si escribimos un número de varias cifras, lo leemos de izquierda a derecha, pero para evaluarlo lo hacemos al revés.

Según Ginsburg, existen tres fases para el desarrollo y comprensión del valor de los números: 1.º el niño escribe bien números pero no sabe por qué; 2.º solo hay una forma de escribir un número; 3.º el niño relaciona la notación escrita de números con el principio de valor relativo.

A los 6-7 años se debe dominar números de 1, 2, 3 cifras y valor posicional, aunque siempre hay dificultad para saber el papel del 0 (201, 210). Para comprender valor posicional o relativo, se deben usar materiales didácticos como el ábaco, material multibase (empleando centenas, unidades, decenas), y a la vez usar unidades de medida como m, dm y cm. A los 8-9 años se debe completar la lectura y escritura de números mayores que 1000; a la hora de lectura, los niños tienen dificultad porque no hay nombres nuevos para las columnas comprendidas entre millares y millones. Para referirnos a la base mil, escribimos un punto para separar grupos de millares. A edad temprana, el niño considera el número como un todo. El niño cuenta hasta cierto número porque tiene una serie con tantos elementos, pero no comprende que ese número puede descomponerse en centenas, decenas y unidades. Después hay que distinguir en el número elegido el significado que tiene cada uno de los números que lo componen. Finalmente se reconocen las unidades y decenas de las que está formado. El número se puede descomponer de muchas formas en función de necesidades.

Materiales que nos ayudan a entender el sistema de numeración: bloques multibase, regletas, cualquier material manipulable (fichas, botones…) que nos permita agrupar de 10 en 10 y reemplazar fichas.

Adición y sustracción

Son dos operaciones que conllevan una serie de acciones para transformar unas cantidades en otras. Dos modelos más usados para conocer el significado de las operaciones de adición y sustracción son:

• Modelos cardinales: mediante objetos individuales, utilizando agrupamientos (círculo, 2+3=5).
• Modelos con medidas: con longitudes continuas, usando regletas u otro material análogo (barras cortas arriba y largas abajo). Estos materiales permiten ilustrar problemas de comparación, combinación y partición.

En 1987 se amplían los modelos y se añade el lineal: considerando una línea numérica como esquema mental que nos sirve para contar, hacer sumas y restas con números pequeños (línea + flechas).

Modelo funcional u operatorio: el 1.º sumando o minuendo es un estado inicial al que se aplica un operador o transformación de aumento o disminución que es el 2.º sumando o sustraendo, según sea + o − (Estado inicial 3 → operador +2 → estado final 5).

Propiedades que se pueden demostrar son: conmutativa, asociativa y distributiva. En los modelos cardinal y con medidas se pueden usar materiales manipulativos como bloques lógicos o regletas.

La enseñanza significativa de matemáticas según Baroody tiene en cuenta la matemática informal de los niños, basándose en ella, pues es lo que hay que potenciar. Recomendaciones para abordar conceptos aritméticos son: desarrollar base sólida antes de introducir símbolos escritos, estructurar experiencias informales de cálculo para fomentar aprendizaje por descubrimiento, ayudar a los niños a ver el simbolismo formal como expresión explícita de su conocimiento informal, y organizar la enseñanza formal para aprovechar el conocimiento informal de los niños.

Tablas de sumar

Se usan tablas como punto de apoyo para realizar cálculos mentales rápidos, en los que serán necesarios para conteo, recolocaciones, compensaciones, redistribuciones… Se pretende convertir datos iniciales en otros más sencillos y cómodos con los que podamos trabajar. Debemos ayudar al niño a establecer unas estrategias adecuadas que culminen en el uso y consolidación de tablas; así aumentará la velocidad de las respuestas, y se repetirán los resultados con tanta frecuencia que acabarán siendo memorizados, entendiendo el porqué.

En las tablas se estudian la propiedad conmutativa, sumas de 1, sumas dobles, dobles +/−1 y 2, compensación, inverso de la suma, conteo progresivo y regresivo. Una vez construida la tabla de sumar, vemos que lleva consigo la operación de resta, porque en la fila y columna están sumandos y resultado; la suma, en las casillas interiores. Para hacer una resta, se parte del minuendo (de una de las casillas) y como sustraendo cualquier otro, obteniendo el resto como sumando no dado inicialmente y buscado en el extremo correspondiente. En la tabla, todos los elementos de la diagonal principal son dobles.

Problemas de adición y sustracción

Problemas de cambio o transformación: descubren la adición o sustracción como acciones que causan incrementos o disminuciones en alguna cantidad. Resultado desconocido (tienes 3 cromos y te dan 2); cambio o transformación desconocido (tienes 3 cromos y te dan varios, al final 5); comienzo desconocido (tienes varios cromos, te dan 2, final 5).

Problemas de combinación: en los que se dan relaciones estáticas entre cantidades. Se dan 2 cantidades y la solución depende de combinaciones de ambas. Resultado desconocido (Juan compra 2 libros y Pedro 3, ¿total?); cantidad inicial desconocida (Juan 2, Pedro varios, total 5).

Problemas de comparación: se dan relaciones estáticas que no cambian, pero hay que señalar diferencia entre ellas. Diferencia desconocida (Rosa 7 cromos, Pablo 4, ¿total?); grande desconocido (Pablo 4, Rosa 3 más, ¿cuántos Rosa?); pequeño desconocido (Pablo varios, Rosa 7, 3 más que Pablo, ¿Pablo?).

En problemas de cambio y comparación los dos sumandos tienen distinta naturaleza: en los de cambio, un sumando señala una cantidad inicial y el otro representa un cambio efectuado sobre el primero; en los de comparación, una cantidad es mayor que la otra.

Multiplicación y división

Multiplicación: operación aritmética realizada entre dos números para obtener un tercero. En fase intuitiva, multiplicar es reiterar una cantidad (multiplicando) transformada por el multiplicador. Para multiplicar a×b considerada como suma reiterada se necesita: formar un conjunto A tal que su cardinal sea a; realizar la unión de A consigo mismo tantas veces como marque el cardinal b; hallar el cardinal c del conjunto unión de todos los anteriores. La multiplicación, aunque puede introducirse intuitivamente como una suma reiterada, no lo es: no es un caso particular de la suma sino otra operación. Su interpretación binaria usa el producto cartesiano: formamos un conjunto A cuyo cardinal sea a, formamos un conjunto B cuyo cardinal sea b, y hacemos el producto cartesiano A×B; el cardinal de A×B es el resultado c. Consideran la multiplicación como una operación que se deriva del apareamiento de conjuntos.

División: operación inversa a la multiplicación. Tenemos dos números, dividendo y divisor, y a partir de ellos se obtiene el cociente; si quedan elementos sueltos, es el resto. Aunque se define como la inversa de la multiplicación, no lo es como tal (D = d×c + r), y no tiene mucho que ver con la definición de multiplicación. En la multiplicación, a dos elementos distintos le corresponde un solo número, pero a un producto le pueden corresponder distintos números. Se puede introducir la división con diagramas de Venn: formar un conjunto A cuyo cardinal sea el dividendo, agrupar elementos de A en subconjuntos iguales de tantos elementos como indica el divisor, contar los grupos que se han formado (cociente) y los elementos que no se han podido agrupar (resto). También puede interpretarse como resta reiterada.

Tablas de multiplicar

Para realizar una tabla se deben usar estrategias, algoritmos o cálculo mental.

Estrategias:

• Propiedad conmutativa: permite reducir cálculos de tablas a la mitad.
• Cálculo del doble: doblar = multiplicar ×2 o suma de dobles.
• Multiplicar ×10: cuando se multiplica un número ×10, se añade un cero a la derecha.
• Cálculo de la mitad: multiplicar ×5 = multiplicar ×10 y hallar la mitad.
• Adición del multiplicando / sustracción del multiplicando: disminuir o aumentar al producto próximo.

Ejemplo tabla del 7: 1×7 (inmediato); 2×7 (se realiza aditivamente); 3×7 (2×7+7=14+7; adición del multiplicando); 4×7 (doble de 2×7=28); 5×7 (mitad de 10×7); 6×7 (5×7+7=35+7; adición del multiplicando); 7×7 (6×7+7; adición del multiplicando); 8×7 (doble de 4×7); 9×7 (10×7−1; sustracción del multiplicando); 10×7 (añadiendo un cero).

La tabla de multiplicar lleva implícita la operación inversa de dividir (exacta), porque los factores están en la fila y columna y el producto en casillas interiores; se puede partir de un número de casillas que sería el dividendo y cualquier otro de la fila o columna inicial que sería el divisor, buscando el extremo correspondiente, que es el cociente.

Problemas de multiplicación y división

Problemas de razón: los más sencillos que se pueden ver en multiplicación/división; en uno de los datos una cantidad es intensiva y la otra extensiva (¿cuánto se paga por 4 paquetes si uno vale 3 €?).

Problemas de combinación: los datos son siempre cantidades extensivas (mezclar 3 tonos rojos y 4 tonos blancos, ¿nº de colores obtenidos?). La resolución se basa en el producto cartesiano de dos conjuntos de tonos.

Problemas de comparación: variante de problemas de razón porque, en lugar de repartirse la cantidad intensiva, se reparte la extensiva (Juan recibe 15 cromos y su amigo 3 veces más, ¿cuántos recibe el amigo?). Cantidad intensiva: es el cuantificador; extensiva: es el número de cromos.

Problemas de conversión: dos cantidades son intensivas, siendo los más complicados a la hora de resolverlos; las cantidades intensivas pueden ser razones o cuantificadores. Se tiene una cantidad intensiva y otra cantidad intensiva, y su resultado es una cantidad intensiva.