Cómo Resolver Ecuaciones Trigonométricas Paso a Paso

Resolución de Ecuaciones Trigonométricas

Resolver una ecuación consiste en encontrar los valores del ángulo x (en el intervalo de 0° a 360°) que hacen que la igualdad sea verdadera. Recuerda que, en la mayoría de los casos, habrá más de una solución válida.

Estrategia General para la Resolución

1. Uniformar: Asegúrate de que toda la ecuación utilice la misma función trigonométrica (por ejemplo, convertir todo a senos o todo a cosenos).
2. Despejar: Trata a sen(x) o cos(x) como si fueran una incógnita algebraica común.
3. Factorizar: Si hay términos al cuadrado, iguala la ecuación a cero y procede a factorizar.
4. Cuadrantes: Ubica todas las soluciones posibles considerando el signo de la función en los diferentes cuadrantes del círculo unitario.

Ejercicios Resueltos Paso a Paso

Ejercicio 1: tan² x = 3

• Paso 1: Despejamos el cuadrado aplicando la raíz cuadrada: tan x = ± √3.
• Paso 2: Buscamos los ángulos correspondientes:
  • Si tan x = √3 (positiva en el I Cuadrante y III Cuadrante) → x = 60° y x = 240° (180° + 60°).
  • Si tan x = -√3 (negativa en el II Cuadrante y IV Cuadrante) → x = 120° (180° - 60°) y x = 300° (360° - 60°).
• Solución final: {60°, 120°, 240°, 300°}

Ejercicio 3: cos(2x) = 3 - 5 sen x

• Paso 1: Usamos la identidad del ángulo doble para uniformar la ecuación: cos(2x) = 1 - 2 sen² x.
• Paso 2: Igualamos a cero y ordenamos los términos: 1 - 2 sen² x = 3 - 5 sen x → 2 sen² x - 5 sen x + 2 = 0.
• Paso 3: Factorizamos la expresión como una ecuación cuadrática: (2 sen x - 1)(sen x - 2) = 0.
• Paso 4: Analizamos cada factor por separado:
  • 2 sen x - 1 = 0 → sen x = 1/2. Soluciones: 30° (I Cuadrante) y 150° (II Cuadrante).
  • sen x - 2 = 0 → sen x = 2. ¡Imposible! El valor del seno no puede ser mayor a 1.
• Solución final: {30°, 150°}

Ejercicio 4: 4 cos² x · tan x - tan x = 0

• Paso 1: Extraemos el factor común tan x: tan x (4 cos² x - 1) = 0.
• Paso 2: Igualamos cada parte a cero:
  • Caso A: tan x = 0. Soluciones: 0°, 180°, 360°.
  • Caso B: 4 cos² x - 1 = 0 → cos² x = 1/4 → cos x = ± 1/2.
    • Si cos x = 1/2: 60° y 300°.
    • Si cos x = -1/2: 120° y 240°.
• Solución final: {0°, 60°, 120°, 180°, 240°, 300°, 360°}

Ejercicio 7: sen x · sen(2x) = 0

• Paso 1: Aplicamos la identidad de ángulo doble: sen(2x) = 2 sen x cos x. Sustituyendo: sen x (2 sen x cos x) = 0 → 2 sen² x cos x = 0.
• Paso 2: Separamos los factores para hallar las raíces:
  • sen² x = 0 → sen x = 0. Soluciones: 0°, 180°, 360°.
  • cos x = 0. Soluciones: 90°, 270°.
• Solución final: {0°, 90°, 180°, 270°, 360°}

Resumen de Referencia (Para hallar el segundo ángulo)

Utiliza estas reglas para encontrar los ángulos equivalentes según el cuadrante:

• II Cuadrante (Seno positivo): 180° - x
• III Cuadrante (Tangente positiva): 180° + x
• IV Cuadrante (Coseno positivo): 360° - x