Segunda forma fundamental de una superficie: curvatura normal, elipsoide y correcciones angulares en geodesia

Segunda forma fundamental de una superficie

Sea la superficie x(u,v) = x(&,λ) continua y diferenciable, y sobre ella la curva dada por la ecuación R = R(s). El vector normal a la superficie en un punto P de la curva se define como n.

En el punto P se define el vector curvatura k = k·N, que se descompone en dos vectores:

• Un vector normal a la superficie (curvatura normal).
• Un vector sobre la línea de proyección del vector curvatura sobre el plano tangente a la superficie en el punto P (curvatura tangencial).

La segunda forma fundamental se define como el producto escalar de estos dos vectores y representa la curvatura de la superficie:

II(du, dv) = -dx · dn

Desarrollo

Descomponiendo dx en función de los parámetros de la superficie:

dx = X_u·du + X_v·dv

Siendo el vector normal a la superficie:

n = (X_u × X_v) / |X_u × X_v|

Descomponiendo dn en las dos direcciones paramétricas:

dn = n_u·du + n_v·dv

Sustituyendo las diferenciales en la segunda forma fundamental:

II = -(X_u·du + X_v·dv)·(n_u·du + n_v·dv)

II = -(X_u·n_u·du² + (X_v·n_u + X_u·n_v)·du·dv + X_v·n_v·dv²)

Coeficientes de la segunda forma fundamental

• e = L₁₁ = -X_u·n_u
• f = L₁₂ = -(1/2)·(X_v·n_u + X_u·n_v)
• g = L₂₂ = -X_v·n_v

Por tanto:

II(du, dv) = e·du² + 2f·du·dv + g·dv²

Dividiendo la segunda forma fundamental entre la primera forma fundamental obtenemos la curvatura normal de la superficie.

Casos particulares

Elipsoide:

x(&,λ) = (-l·sen&·cos λ, -l·sen&·sen λ, l·cos&)

n(&,λ) = (sen&·cos λ, sen&·sen λ, -cos&)

Esfera:

e = -x(&)·A(&)

Corrección angular horizontal: reducción al elipsoide

Reducción por desviación de la vertical

Se reduce la desviación de la vertical, que es el ángulo formado por la normal geodésica (normal al elipsoide) y la normal astronómica (tangente a la dirección de la línea de la plomada o vertical del lugar) en un punto de la superficie terrestre.

La reducción del azimut astronómico al geoide se realiza mediante la ecuación de Laplace:

A_a = A_a1 - A_a2 (astronómico)

A_g = A_g1 - A_g2 (geodésico)

A_g = A_a - ξ·(sen A_a1·cot Z₁ - sen A_a2·cot Z₂) + η₀·(cos A_a1·cot Z₁ - cos A_a2·cot Z₂)

Desviación de la altura de la estación

Se considera la superficie equipotencial no paralela, cuyo efecto es despreciable.

Reducción por altura del punto visado

Las normales geodésicas de la estación y del punto visado no están en el mismo plano. Se corrige el azimut con el ángulo que forman las secciones normales (punto estación - punto visado y punto estación - proyección del punto visado sobre el elipsoide):

Δα = -((e²)/(2·P_m))·h_v·cos²φ_m·sen 2A_p·v

Corrección por paso de sección normal a línea geodésica

La sección normal de dirección no coincide con la del punto visado que pasa por el punto estación; la sección normal es recíproca. La solución se obtiene con la línea geodésica (ángulo formado por las secciones normales recíprocas). La corrección del azimut es:

[ ]

Reducción de azimut astronómico a azimut geodésico

A_g = A_a + c₁ + c₂ + c₃

donde: c₁ = α_g; c₂ = Δα; c₃ = δ''