Sistema diédrico tipos de rectas
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• Dos vectores son linealmente dependientes si alguno de ellos se puede expresar Como combinación lineal de los demás. En caso contrario se llaman linealmente Independientes
• Puntos alineados: están
Alineados si
→
AB y
→
BC son paralelos (proporcionales)
POSICIONES RELATIVAS ENTRE RECTAS.
Dos rectas en el espacio pueden ser coincidentes, paralelas, pueden cortarse en un
punto o pueden cruzarse. Para estudiar posiciones relativas entre dos rectas, r y s,
Utilizaremos rangos:
Si ran (M) = ran (M
/
) = 1 ⇒ r y s coinciden.
O Si ran (M) = 1 ≠ ran (M
/
) = 2 ⇒ r y s son paralelas.
O Si ran (M) = ran (M
/
) = 2 ⇒ r y s se cortan.
O Si ran (M) = 2 ≠ ran (M
/
) = 3 ⇒ r y s se cruzan.
POSICIONES RELATIVAS ENTRE PLANOS.
Dos planos en el espacio pueden ser coincidentes, paralelos o cortarse en una recta.
Para distinguir cada caso consideramos los planos
Si ran (M) = ran (M
/
) = 1 ⇒ π1 y π2 son coincidentes. Si ran (M) = 1 ≠ ran (M
/
) = 2 ⇒ π1 y π2 son paralelos.
O Si ran (M) = ran (M
/
) = 2 ⇒ π1 y π2 se cortan en una recta.
Tres planos: Si el rango de ambas matrices y el numero de incógnitas es igual (SCD) se cortan en un punto. Si el rango de A es 2 y el de la ampliada es 3 (SI) puede ser que se corten dos a dos, ó dos paralelos y el otro los corta. Si el rango de ambas es 2 (SCI) los tres planos se cortan en una recta secante, también pueden ser dos coincidentes y el otro cortarlos. Si el rango de A es 1 y el de la ampliada 2 (SI) todos son paralelos. Y si ambos rangos son 1, son coincidentes (SCI)
POSICIONES RELATIVAS ENTRE RECTA Y PLANO.
En el espacio, una recta r puede estar contenida en un plano π, puede ser paralela a
Ese plano o lo puede cortar en un punto.
La recta r está contenida en el plano π.- En este caso se deben cumplir dos
Condiciones:
1. El vector director de la recta y el vector normal del plano son
Perpendiculares: dr ⊥ nπ ⇒ dr
⋅ nπ = 0 .
2. Un punto cualquiera, P, de la recta r también pertenece al plano π.
La recta r es paralela a plano π.- En este otro caso se debe cumplir:
1. El vector director de la recta y el vector normal del plano son
Perpendiculares: dr ⊥ nπ ⇒ dr
⋅ nπ = 0 .
2. Un punto cualquiera, P, de la recta r no pertenece al plano π.
La recta r corta al plano π en un punto P.- En este caso el vector director de la
Recta y el vector normal al plano forman un ángulo distinto de 90º. Podemos
Calcular el punto de corte estableciendo un sistema de ecuaciones entre las
Ecuaciones de la recta y las del plano.
DISTANCIAS
Entre puntos: 
• Distancia de un punto P y una recta r.- Si Q es un punto de la recta r, la distancia Entre P y r coincide con la altura del paralelogramo determinado por los vectores → QP y dr
, es decir, con el resultado de dividir el área del paralelogramo entre la
Longitud de su base
Distancias de un P al plano : 
• Distancia entre dos rectas r y s.- Distinguiremos dos casos:
O Si las rectas son paralelas, tomamos un punto Pr
De la recta r y se cumplirá:
Dist (r, s) = dist (P, s) .
O Si las rectas se cruzan, la distancia entre ellas coincide con la altura del
Paralelepípedo determinado por los vectores
→
Dr
, ds y PQ , es decir, con el
Resultado de dividir el volumen del paralelepípedo entre el área de su base
Distancia de una recta r a un plano π.- Si la recta r corta al plano π, la distancia
Entre ellos es cero. Si la recta r es paralela al plano π (o está contenida en él)
Dist (r, ) dist (P , ) π = r π .
• Distancia entre dos planos π1
Y π2.- Si los planos π1 y π2 se cortan, la distancia
Entre ellos es cero. Si no se cortan es porque son paralelos o coinciden.
• Plano mediador.- El lugar geométrico de los puntos X(x, y,z) que equidistan de los
Extremos de un segmento AB se llama plano mediador. Su ecuación se calcula
Imponiendo la condición que lo define:
Dist (X,A) = dist (X,B)
• Planos bisectores.- El lugar geométrico de los puntos X(x, y,z) que equidistan de
Dos planos π1
Y π2 son otros dos planos σ1
Y σ2 llamados planos bisectores, que son
Perpendiculares entre sí. Sus ecuaciones se calculan imponiendo la condición:
Dist (X,plano1) dist (X,plano2 )