Sistemas de Fase Mínima y Respuesta en Régimen Permanente

Sistemas de Fase Mínima

Un sistema se denomina de fase mínima porque, entre todas las funciones con la misma curva de amplitud, presenta el menor ángulo de fase.

• Fase mínima: Sin polos ni ceros en el semiplano derecho de s.
• Fase no mínima: Tiene polos y/o ceros en el semiplano derecho de s.

Siendo m el grado del numerador y n el grado del denominador, un sistema es de fase mínima si en su curva de ángulo de fase, cuando W tiende a infinito, tenemos: -90*(n - m)/dec.

Demostración

Los sistemas de fase mínima tienen la curva con menor ángulo de fase.

• G₁(jW) = (1 + jWT) / (1 + jWT₁) -> Fase mínima
• G₂(jW) = (1 - jWT) / (1 + jWT₁) -> Fase no mínima

|G₁(jW)| = |G₂(jW)| = (√(1² + (WT)²) / √(1² + (WT₁)²) (Mismo módulo)

Argumentos:

• Argumento G₁(jW) = arctg(WT) - arctg(WT₁) -> W = 0: argumento G₁(jW) = 0°; W = infinito: Argumento G₁ = 0°
• Argumento G₂(jW) = arctg(-WT) - arctg(WT₁) -> W = 0: Argumento G₂ = 0°; W = infinito: Argumento G₂ = 180°

Respuesta en Régimen Permanente de un Sistema a Entrada Senoidal

La respuesta de un sistema lineal a una entrada senoidal es otra señal senoidal de igual frecuencia, pero diferente amplitud y ángulo de fase. Consideramos un sistema lineal u(t) -> G(s) -> y(t) con u(t) = Rsin(Wt) -> U(s) = r * W / (s² + W²).

Su respuesta en régimen permanente será: Y(s) = G(s) * U(s). Suponemos polos reales y distintos.

Y(s) = [N(s) / (s + p₁)(s + p₂)...(s + p_n)] * [RW / (s + jW)(s - jW)] --- Descomponiendo en fracciones simples --> Y(s) = b₁ / (s + p₁) + b₂ / (s + p₂) + ... + a₁ / (s + jW) + a₂ / (s - jW)

Si aplicamos la transformada inversa de Laplace: y(t) = b₁e^-p₁t + b₂e^-p₂t + ... + a₁e^-jWt + a₂e^jWt

Estable si p₁, p₂...p_n son negativos, en el infinito tienden a 0. En estado estacionario nos interesan los dos últimos términos: y_rp(t) = a₁e^-jWt + a₂e^jWt

Calculamos a₁ y a₂:

• a₁ = (s + jW) * [(RW) / (s + jW)(s - JW)]G(s)|_-jW = [RW / -2jW]G(-jW) -> a₁ = [-R / 2j]G(-jW)
• a₂ = (s - jW) * RW / (s + jW)(s - jW) G(s)|_jW -> a₂ = [R / 2j] G(jW)

y_rp = -R / 2j G(-jW)e^-jWt + R / 2j G(jW)e^jWt

y_rp = [R / 2j] |G(jW)| [e^{j(Wt + phi(W))} - e^{-j(Wt + phi(w))}] --- Aplicando Euler ---> y_rp = R |G(jw)| sin(Wt + phi(W))

La respuesta en régimen permanente de un sistema a entrada senoidal es otra señal senoidal de igual frecuencia con un desfase phi(W) y una amplitud R |G(jW)|.

Al ser G(jw), G(-jw), cantidades complejas:

• G(jW) = |G(jW)|e^jphi(W) = X(W) + jY(W)
• G(-jW) = |G(-jW)|e^-jphi(W) = X(W) - jY(W)

|G(+-jw)| = √(X(W)² + Y(W)²)

phi(W) = arctg(y(W) / X(W))