Sistemas de fase mínima y respuesta en régimen permanente a entrada senoidal

Sistemas de Fase Mínima

Un sistema se denomina de fase mínima porque, entre todas las funciones con la misma curva de amplitud, presenta el menor ángulo de fase.

• Fase mínima: Sin polos ni ceros en el semiplano derecho de s.
• Fase no mínima: Tiene polos y/o ceros en el semiplano derecho de s.

Siendo m el grado del numerador y n el grado del denominador, un sistema es de fase mínima si en su curva de ángulo de fase, cuando W tiende a infinito, tenemos: -90*(n - m)/dec.

Demostración

Los sistemas de fase mínima tienen la curva con menor ángulo de fase.

• G₁(jW) = (1 + jWT) / (1 + jWT₁) -> Fase mínima
• G₂(jW) = (1 - jWT) / (1 + jWT₁) -> Fase no mínima

|G₁(jW)| = |G₂(jW)| = (√(1² + (WT)²) / √(1² + (WT₁)²) (Mismo módulo)

Argumentos:

• Argumento G₁(jW) = arctg(WT) - arctg(WT₁) -> W = 0: argumento G₁(jW) = 0°; W = infinito: Argumento G₁ = 0°
• Argumento G₂(jW) = arctg(-WT) - arctg(WT₁) -> W = 0: Argumento G₂ = 0°; W = infinito: Argumento G₂ = 180°

Respuesta en Régimen Permanente de un Sistema a Entrada Senoidal

La respuesta de un sistema lineal a una entrada senoidal es otra señal senoidal de igual frecuencia, pero diferente amplitud y ángulo de fase. Consideramos un sistema lineal u(t) -> G(s) -> y(t) con u(t) = Rsin(Wt) -> U(s) = r * W / (s² + W²).

Su respuesta en régimen permanente será: Y(s) = G(s) * U(s). Suponemos polos reales y distintos.

Y(s) = [N(s) / (s + p₁)(s + p₂)...(s + p_n)] * [RW / (s + jW)(s - jW)] --- Descomponiendo en fracciones simples --> Y(s) = b₁ / (s + p₁) + b₂ / (s + p₂) + ... + a₁ / (s + jW) + a₂ / (s - jW)

Si aplicamos la transformada inversa de Laplace: y(t) = b₁e^-p₁t + b₂e^-p₂t + ... + a₁e^-jWt + a₂e^jWt

Estable si p₁, p₂...p_n son negativos, en el infinito tienden a 0. En estado estacionario nos interesan los dos últimos términos: y_rp(t) = a₁e^-jWt + a₂e^jWt

Calculamos a₁ y a₂:

• a₁ = (s + jW) * [(RW) / (s + jW)(s - JW)]G(s)|_-jW = [RW / -2jW]G(-jW) -> a₁ = [-R / 2j]G(-jW)
• a₂ = (s - jW) * RW / (s + jW)(s - jW) G(s)|_jW -> a₂ = [R / 2j] G(jW)

y_rp = -R / 2j G(-jW)e^-jWt + R / 2j G(jW)e^jWt

y_rp = [R / 2j] |G(jW)| [e^{j(Wt + phi(W))} - e^{-j(Wt + phi(w))}] --- Aplicando Euler ---> y_rp = R |G(jw)| sin(Wt + phi(W))

La respuesta en régimen permanente de un sistema a entrada senoidal es otra señal senoidal de igual frecuencia con un desfase phi(W) y una amplitud R |G(jW)|.

Al ser G(jw), G(-jw), cantidades complejas:

• G(jW) = |G(jW)|e^jphi(W) = X(W) + jY(W)
• G(-jW) = |G(-jW)|e^-jphi(W) = X(W) - jY(W)

|G(+-jw)| = √(X(W)² + Y(W)²)

phi(W) = arctg(y(W) / X(W))