Tensores

Tensor planario de inercia.

Se define una amtriz simetrica que recibe el nombre de tensor planario de inercia del solido en el punto O:

Jo =  (         )          Io es igual a la traza del tensor : Io = J11 + J22 + J33 = Iyz + Izx + Ixy y se obtiene para el momento de inercia planario

Iπ = {u}t Jo {u} = (α β γ) (          ) (α β γ)  siendo α, β, γ los cosenos directores del vector u, vector caracteristico del plano π que contiene al punto O

La forma matricial del producto de inercia  respecto de dos planos:

Pπλ = {u}t Jo {v} = (αu βu γu) (           ) (αv βv γv)     siendo αu,βu,γu y αv,βv,γv cosenos directores de los vectores unitarios u y v.

Elipsoide planario y axil de inercia.

Iπ siempre es mayor que 0, salvo en los casos particulares en los que la masa estuviera distribuida en el plano π, siendo el momento de inercia nulo. El tensor planario define la forma cuadratica:  

El punto O y uno cualquiera de los infinitos planos π que pasan por el, de vector caracteristico unitario u. Se traza una recta colineal con el vector u que pase por O y, en ella, se definde un punto P tal que:

Y se verificara la siguiente relacion matricial entre las coordenadas del punto P y la componentes del vector unitario u:

Si se lleva a la expresion del momento de inercia planario:

Conduce a la ecuacion de la cuadrica.

El lugar lugar geometrico de los punto P que cumplan la condicion es la cuadrica asociada al tensor de inercia planario en O. Como Iπ es siempre mayor que 0, ha de ser un elipsoide denominado elipsoide planario de inercia en el punto O. Y cumple  (x y z) (         ) (x y z) = 1

Se puede definir el elipsoide axil de inercia en O, considerando esta vez que u es el vector director de un eje cualquiera e del haz de rectas que pasa por O y que el punto P se situa aplicando:  OP=

Y se obtiene   (    ) (     ) (    ) = 1                 Cuando el punto O coincide.....