Teoremas de Ángulos Inscritos y Circunferencias: Demostraciones Paso a Paso

Teorema 25

Hipótesis: El ángulo APB es inscrito y el ángulo AOB es central, ambos abarcan la misma cuerda AB.
Tesis: APB = AOB / 2

Caso 2: O interior al ángulo APB

Se determina K = OP ∩ circunferencia. Los ángulos APB y AOB se descomponen en la suma de dos ángulos menores.

• El triángulo APO es isósceles (por ser r sus lados iguales), por lo que los ángulos en A y en P son iguales.
• Al considerar el ángulo exterior AOK, se obtiene que AOK = 2·APO.
• Con el triángulo BOP, se procede de forma análoga (isósceles, ángulos iguales y ángulo exterior igual a la suma de los interiores), obteniendo BOK = 2·BPO.
• Como AOB = AOK + BOK, se llega a que AOB = 2(APO + BPO).
• Dado que APB = APO + BPO, se concluye que AOB = 2·APB, y por lo tanto APB = AOB / 2.

Caso 3: O exterior al ángulo APB

Se determina R = PO ∩ circunferencia. Como APR es inscrito y AOR es central sobre la cuerda AR, por el Teorema 25 se tiene que APR = AOR / 2. Análogamente, BPR = BOR / 2.

Como AOB = AOR − BOR y APB = APR − BPR, al sustituir se obtiene AOB = 2·APB, por lo tanto APB = AOB / 2.

Teorema 27 (Recíproco)

Hipótesis: AB = RT y los ángulos APB y RST son inscritos.
Tesis: ∠APB = ∠RST

Se consideran los triángulos ABO y ROT. Como AB = RT y todos los otros lados son radios, por el criterio LLL se tiene que ABO ≅ ROT, de donde ∠AOB = ∠ROT.

Como APB y AOB son inscrito y central sobre la misma cuerda, por el Teorema 25 se cumple AOB = 2·APB. Repitiendo el razonamiento en RST y ROT, se obtiene ROT = 2·RST.

Como AOB = ROT, al sustituir se llega a 2·APB = 2·RST, por lo tanto APB = RST.

Teorema 28

Hipótesis: APB inscrito en la circunferencia y bisectriz de APB ∩ circunferencia = F; AQB inscrito en la circunferencia y bisectriz de AQB ∩ circunferencia = F'.
Tesis: AF = FB y F = F'

Por definición de bisectriz, APF = BPF, y como ambos son ángulos inscritos, por el Teorema 27 se llega a AF = BF.

Como AQB y APB son inscritos en la circunferencia sobre la misma cuerda, por el teorema correspondiente APB = AQB. Con esta conclusión y con las dos intersecciones de la hipótesis, se concluye que F = F'.

Teorema 30

Caso I (1 → 2): Trapecio inscriptible es isósceles

Hipótesis: ABCD es un trapecio inscriptible en la circunferencia.
Tesis: ABCD es un trapecio isósceles.

Sea ∠ABC = α. Por ser inscriptible, por el Teorema 29 se cumple ∠ABC + ∠ADC = 180°, por lo tanto ∠ADC = 180° − α.

Sea E ∈ DC. Como ∠EDC = 180° y ∠EDC = ∠ADE + ∠ADC, se obtiene que ∠ADE = α.

Los ángulos ∠ADE y ∠DAB son alternos internos entre las paralelas AB ∥ DC, por lo que, por el postulado 1, ∠DAB = α.

Como el trapecio tiene ∠DAB = ∠ABC, por el Teorema 13 es isósceles.

Caso IV (4 → 1): Trapecio con diagonales iguales es inscriptible

Hipótesis: ABCD es un trapecio y AC = BD.
Tesis: ABCD es inscriptible.

Sea ∠ABC = α. Con los dos puntos de la hipótesis, por el Teorema 14 se concluye que ABCD es isósceles.

Como es isósceles y ∠ABC = α, por el Teorema 13 se tiene ∠DAB = α.

Sea E ∈ DC. Los ángulos ∠EDA y ∠DAB son alternos internos entre AB ∥ DC, por lo que, por el postulado 1, ∠EDA = α.

Como ∠EDC = 180° y ∠EDC = ∠EDA + ∠ADC, se concluye que ∠ADC = 180° − α.

Sumando los ángulos opuestos: ∠ADC + ∠ABC = (180° − α) + α = 180°. Por el Teorema 29, se afirma que ABCD es inscriptible.