Teoremas fundamentales del cálculo diferencial: Bolzano, Weierstrass, Rolle y valor medio

Teoremas Fundamentales del Cálculo Diferencial

Teorema de Bolzano

Sea f(x) una función continua definida en un intervalo cerrado y acotado [a, b]. Si los valores de f(x) para x = a y x = b tienen signos opuestos, entonces existe al menos un valor α perteneciente a [a, b] tal que f(α) = 0. Podría haber más de un valor.

Teorema de los Valores Intermedios

Sea f(x) una función continua en [a, b]. Sea c cualquier valor entre f(a) y f(b). Entonces existe un valor α perteneciente a [a, b] tal que f(α) = c.

Teorema de Weierstrass

Para explicar este teorema, necesitamos la noción de máximo y mínimo absoluto.

• Sea f(x) una función definida en un intervalo I. Diremos que un punto a perteneciente a I es un máximo absoluto de f(x) en I si f(a) ≥ f(x) para todo x perteneciente a I.
• Diremos que a es un mínimo absoluto si f(a) ≤ f(x) para todo x perteneciente a I.

Es fundamental definir el conjunto I. De lo contrario, no tiene sentido. No siempre existen extremos absolutos.

Explicación del Teorema:

Sea f(x) una función continua sobre un intervalo cerrado [a, b]. Entonces existen el máximo y el mínimo absoluto de f en [a, b]. Es decir, hay x_máx perteneciente a [a, b] y x_mín perteneciente a [a, b] tales que f(x_mín) ≤ f(x) ≤ f(x_máx) para todo x perteneciente a [a, b].

Recta Tangente y Recta Normal

Recta Tangente a y = f(x) en x = a

(y - f(a)) = f'(a) * (x - a)

Recta Normal

y - f(x₀) = (-1 / f'(x₀)) * (x - x₀)

y y x son los puntos por donde se indica que pasan.

Extremos Relativos

Se dice que a perteneciente a I es un máximo relativo si existe un E > 0 tal que:

• (a - E, a + E) está en I
• f(a) ≥ f(x) para todo x en (a - E, a + E).

Un mínimo relativo es igual, pero con f(a) ≤ f(x).

1. Un máximo relativo indica que el valor de f en el punto es mayor o igual que el valor de f en los puntos de alrededor.
2. Los máximos y mínimos relativos siempre están en el interior de I.
3. Para los extremos absolutos necesitamos el dominio, pero para los relativos no, porque es una propiedad microscópica.

Teorema de Fermat

Supongamos que f(x) tiene un máximo o mínimo relativo en x = a. Entonces f'(a) = 0.

Es decir, todo extremo relativo es un punto donde la derivada se anula. Estos son los puntos críticos. Así, el teorema dice: "Todo extremo relativo es un punto crítico". No todos los puntos críticos son extremos relativos. Puede ser un punto de inflexión, por ejemplo: y = x³.

Punto de inflexión: Se anula la segunda derivada, y la última derivada posible (la que ya solo queda un número) es impar. Si es par, es un extremo relativo.

Cálculo de Extremos Absolutos

Sea f(x) una función derivable en [a, b]. Por el Teorema de Weierstrass, f(x) tiene un máximo absoluto y un mínimo absoluto en [a, b]. Si x perteneciente a [a, b] es uno de estos valores, tenemos dos opciones:

1. x está en el interior de [a, b] y es un extremo relativo de f(x), porque la derivada es 0.
2. x = a o bien x = b.

Para calcularlos:

1. Hallar los puntos críticos en el interior.
2. Evaluar f(x) en los puntos del paso 1 y en los extremos a y b. El mayor es el máximo absoluto y el menor es el mínimo absoluto.

Teoremas del Valor Medio del Cálculo Diferencial

Teorema de Rolle

Sea f(x) derivable en [a, b], con f(a) = f(b). Entonces existe c perteneciente a [a, b] tal que f'(c) = 0.

Si f(a) ≠ f(b), el teorema no es cierto.

Teorema del Valor Medio

Sea f(x) derivable en [a, b]. Existe c perteneciente a (a, b) tal que

f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)

El Teorema de Rolle es un caso particular del Teorema del Valor Medio.

Derivadas Direccionales

Derivada direccional = Gradiente * Vector unitario

Gradiente = (derivadas parciales en el punto, ...)

La dirección donde la función crece más rápido es la del gradiente, y su valor es su módulo.

Optimización

Método 1 (Lagrange)

1. Obtener la función a optimizar (f_opt) y la ligadura (L).
2. Construir la función Lagrangiana: L = f_opt - λ(ligadura).
3. Calcular las derivadas parciales de L e igualarlas a 0. Esto nos dará puntos x o y.
4. Sustituir cada punto en la ligadura para obtener los valores de A, B, C...
5. Evaluar f_opt en estos puntos para determinar los máximos y mínimos.

Si no se usa Lagrange, se despeja una variable de la ligadura y se sustituye en f_opt, luego se deriva.

Método 2

1. Obtener f_opt y la ligadura.
2. Despejar una variable de la ligadura y sustituirla en f_opt.
3. Derivar la función resultante e igualar a 0 para obtener un punto crítico.
4. Para comprobar si es un máximo, calcular la segunda derivada y evaluar el punto crítico. Si el resultado es negativo, el punto es un máximo.

Representación de Funciones

Dominio

• Polinomio: todo R.
• Fracción: R menos los valores que anulan el denominador.
• Logaritmo: el argumento debe ser mayor que 0.
• Raíz impar: si es raíz de x/y, R menos los valores que anulan el denominador.
• Raíz par: el radicando debe ser mayor o igual que 0.
• Exponencial, seno, coseno: todo R.

Asíntotas

(Se deben estudiar las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas)

Máximos y Mínimos de f sobre otra función

1. Definir la ligadura y f_opt.
2. Construir la ecuación Lagrangiana.
3. Calcular las derivadas parciales e igualarlas a 0.
4. Sustituir los valores obtenidos en la ligadura para obtener los valores de las variables.
5. Combinar los valores para crear las distintas posibilidades.
6. Evaluar f_opt en cada combinación para determinar los máximos y mínimos.

Extremos Absolutos de f en D = (...)

Paso 1: Hallar los puntos críticos en el interior (sin condicional). Calcular las derivadas parciales de f e igualarlas a 0. Obtener un punto y comprobar si está en D.

Paso 2: Hallar los puntos críticos en la frontera (condicional). Construir la ecuación de Lagrange, calcular las derivadas parciales e igualarlas a 0. Obtener varios casos y estudiarlos sustituyéndolos en la ligadura. Sustituir el valor de λ en una derivada parcial.

Paso 3: Considerar los puntos de pico.

Paso 4: Evaluar f en los puntos obtenidos en los pasos 2 y 3 para determinar los máximos y mínimos.

Dibujar f(x) Aproximadamente

1. Hallar los puntos críticos.
2. Evaluar f(x) en esos puntos.
3. Evaluar f(x) a la izquierda y derecha de los puntos críticos para determinar el crecimiento y decrecimiento.