Teoría de Probabilidad y Estadística: Preguntas Resueltas con Ejemplos Clave
Teoría de Probabilidad y Estadística: Preguntas Resueltas
1) Modelo exponencial y probabilidad
Si nos dicen que el modelo exponencial es el valor más probable de la variable, ¿qué concluimos? ¿Por qué?
Respuesta: Lo que nos dicen no es verdad, porque el modelo exponencial es un modelo continuo y, por tanto, en un modelo continuo todo punto tiene siempre probabilidad 0.
2) Tipificación de una variable aleatoria
Explique brevemente en qué consiste la tipificación de una variable aleatoria.
Respuesta: Consiste en realizar un cambio de origen y otro de escala:
$$Y = a + bX \qquad Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{1}{\sigma}X - \frac{\mu}{\sigma}$$
3) Aplicación del teorema central del límite
Para aplicar el teorema central del límite, ¿es necesario conocer la forma de la distribución de probabilidad de las variables a las que se aplica? ¿Por qué?
Respuesta: No es necesario. Basta con que cualquier variable sea independiente e idénticamente distribuida y con un número suficiente de datos.
4) Distribución marginal de la tercera componente de un vector aleatorio multinomial
Justifique por qué la distribución de probabilidad marginal de la 3.ª componente de un vector aleatorio multinomial de dimensión 5 es binomial.
Respuesta: $X_3 \approx B(n, p_3)$. Es binomial porque se considera que $X_3$ es el éxito y los demás resultados son fracasos.
5) Aproximación de la hipergeométrica por la binomial
¿Bajo qué condiciones se puede aproximar el modelo hipergeométrico por el binomial? Comente brevemente por qué se dice que es una aproximación.
Respuesta: Cuando el número de elementos tiende a infinito y $n/N < 0.1$: $H(N, M, n) \approx B(n, M/N)$. Porque la proporción $n/N$ permanecerá prácticamente constante en las distintas extracciones.
6) Distribución de la media muestral
Si la población es uniforme y la muestra es grande, ¿puede ser normal la distribución del estadístico media muestral?
Respuesta: No existe ninguna propiedad ni modelo uniforme que relacione la media $\mu$ con el tamaño muestral $N$. Si $n$ es grande, por el TCL sí se puede, ya que la media muestral es asintóticamente normal.
7) Consistencia de los estimadores en muestras pequeñas
¿Qué garantiza la propiedad de consistencia de los estimadores para muestras pequeñas?
Respuesta: No se puede garantizar nada, porque la consistencia de los estimadores es una propiedad asintótica, es decir, solo se verifica para muestras grandes.
8) Significado del intervalo de confianza
¿Qué significa que el intervalo $(12{,}34;\ 15{,}87)$, obtenido a partir de una muestra de tamaño 30, contenga la media desconocida con una confianza del 95%?
Respuesta: De las 30 muestras, en 28,5 (95% de 30) veces la media desconocida estará dentro de ese intervalo. Al ser la muestra muy pequeña, el intervalo no merece mucha confianza.
9) Función de potencia de un contraste de hipótesis
Defina la función de potencia de un contraste de hipótesis e indique su utilidad.
Respuesta: Es una función que, a cada valor del parámetro desconocido, le asocia la probabilidad de rechazar la hipótesis nula. Permite calcular el nivel o la potencia del contraste.
10) Contraste de igualdad de dos medias poblacionales
¿Qué ha de ocurrir al contrastar la igualdad de dos medias poblacionales frente a la desigualdad de las mismas para que el valor de probabilidad o valor $p$ sea 1? ¿Por qué?
Respuesta: Que coincidan las medias muestrales no garantiza que siempre se rechace; por eso $\alpha = 1$.
11) Determinante de la matriz varianza-covarianza de un vector multinomial
El valor del determinante de la matriz varianza-covarianza de un vector aleatorio multinomial, ¿qué indica respecto a la relación existente entre las variables aleatorias componentes de dicho vector?
Respuesta: El determinante vale 0, ya que el modelo multinomial es singular. Como es 0, el coeficiente de correlación múltiple vale 1, luego existe una relación lineal perfecta entre las variables, es decir, $\sum X_i = n$. Cuando sean $n$ realizaciones, las componentes deben sumar $n$; por tanto, existe una relación inversa entre ellas.
12) Combinaciones lineales de una sucesión de variables aleatorias
Sea $\{X_n\}$ una sucesión de variables aleatorias. ¿Qué supuestos deben establecerse para afirmar que cualquier combinación lineal de ellas se distribuye normalmente?
Respuesta: En cualquier modelo, que sean independientes e idénticamente distribuidas con $n$ suficientemente grande. Que las variables provengan de una normal multivariante y que sean normales e independientes.
13) Valor de la variable normal tipificada
Si la variable normal tipificada $Z$ toma el valor $1{,}96$ para una probabilidad acumulada de $1-\alpha/2$, ¿qué valor tomará para una probabilidad acumulada de $\alpha/2$? ¿Por qué?
Respuesta: Por simetría de la distribución normal, $P[Z \le -1{,}96] = \alpha/2$, es decir, el valor será $-1{,}96$.